自适应大邻域搜索(Adaptive Large Neighborhood Search)（二）解决TSP问题

https://mp.weixin.qq.com/s/l7fTHRye4pPBtWrlPrZ6mA

1. ALNS介绍

从LNS谈起

LNS，即大规模邻域搜索算法（large neighborhood search）由Shaw在论文A new local search algorithm providing high quality solutions to vehicle routing problems中提出。主要的算法分为两部分：remove and insert，每次从当前的解中移除一定量的顾客（在原论文中，这个值设为25）随后得到一个部分解，对部分解应用insert算子，重新插入的所有可能情况构成了原始解的一个邻域。在原论文中，作者使用了Branch and Bound算法来搜索整个邻域的最优解。假如邻域中的最优解比当前解更优，则当前解进行改进。当然，remove方法很大程度上决定了算法的效率。

LNS正如论文名一样，效果非常好。但同时也存在着它的问题，当邻域逐渐增大的同时，时间复杂度依然是呈指数级上升，以至于当移除的顾客数超过30时，搜索最优解的时间变得无法接受，这时候在探索大邻域的时候就同样需要一种启发式的方法，找到邻域中的满意解。

ALNS其实和VND有很多类似之处，都是通过变换不同的邻域来增大搜索空间，如下图所示：

ALNS是对LNS的拓展，其设计了一组remove算子和一组insert算子来竞争改进的机会。在每次迭代过程中，从remove算子和insert算子集合中各选择一个来对当前解进行改进。不同算子被选择到的概率由之前的效率决定。获得邻域满意解后，ALNS中可以任意选用接受准则，如SA接受，TS接受等来更新当前解。

其算法主流程如下：

2. remove算子介绍

remove算子就是通过不同的方法，选择一定数量的顾客，把他从solution中移除即可。

举个例子大概是这样：

原solution：

route 1: [0,1,2,3,4,5,0]

route 2: [0,6,7,8,9,10,0]

假设要remove的顾客数为5个站点：

after remove：

route 1:[0,1,2,0]

route2:[0,8,9,10,0]

下面具体介绍几种remove算子：

1.Random remove

如其名，随机移除。随机选择一定数量的顾客并移除即可，主要作用是增加搜索的多样性。

2.Worst remove

这种remove的思想是在改进解的过程中，那些非常长的，在目标函数中贡献非常大的顾客，往往需要被考虑重新安置。

如图所示：

可以发现假如去掉红色笔划的边后，目标函数有明显下降，说明这些边对应的点值得考虑被重新安排:

在实现中，我们定义

就是把点i从解中完全移除后，目标函数值的提高（降低）。把所有点按 $f_{?i}$值来排序，排在前面的顾客被选择到的概率更大。

3. insert算子介绍

插入算子将被移除的顾客再重新加回到解中，从而对解进行改进，不同于LNS，这里的insert方法都是启发式的：

1.Basic greedy heuristic

基本的贪心思想。不断的将被移除的顾客加回到cheapest(使目标函数提高最少的位置)上。具体的方法如下：

我们定义$f_{ik}$为把顾客i插入到route k中使目标函数提高最少的位置后，目标函数的改变量。当顾客i无法插入到route k中，我们有。之后计算

不断把i插入到route中即可。

其实质就是从所有待服务顾客中选择能使目标函数增长最小的顾客。

不断执行以上流程，直到所有的顾客都插回到solution中，或是已经没有可以插入的位置。

这里值得注意的一点是可以将所有的 $f_{ik}$ 列成表，来减少时间复杂度，避免每次都要重新计算。

2.Regret heuristics

第一种基于贪心的思想的插入算子有明显的问题：总是将那些困难（能使目标函数值提高很多）的顾客放到后面插入。这使得可插入的点变得很少。

Regret heuristic通过加入look-ahead information来避免这一种情况的发生。具体流程如下：

我们定义 $f_{iq}$ 为把顾客i插入到第 $q$ 个使目标函数提高最少的route的最好位置上后，目标函数的改变量

我们有：

即要最大化了把顾客 i 插入到最好的 route 中和第 q 好的route中目标函数的差异

4. 接受准则

在算法主框架上，我们使用模拟退火算法的思想：以概率

接受目标函数值劣于当前解的候选解。

5. 自适应参数调整

我们通过收集在100次迭代中，不同的remove和insert算子的表现来对他们进行打分，分数更高的算子被选择的概率更大：

我们定义三个打分机制：

$r_1$:上一个remove-insert 操作获得了新的全局最优解

$r_2$:上一次remove-insert操作获得了之前没发现过的解，但该解目标函数值劣于当前解

$r_3$：上一次remove-insert操作获得了之前没发现过的解，但该解目标函数值劣于当前解，但该解被接受了

每次迭代过后将分数加到对应的操作中。

我们更喜欢能够改进solution的方法，但我们也希望奖励能够在一定程度上使搜索多样化的方法。我们通过为每个solution分配一个哈希键并将该键存储在一个哈希表中来储存获得过的solution。

在每迭代100次后，我们计算新的分数：

$a_i$ 是在上个周期中该启发式操作被调用的次数，reaction factor p控制了参数调整算法对分数改变的灵敏度。p=1的话新的分数只和最近一次分数有关，p<1的话就开始考虑历史因素。\

6.remove-insert选择

这里采用轮盘赌选择法：

具体操作如下：

(1)计算出每个算子的分数f(i=1，2，…，M)，M为算子总数；

(2)计算出每个算子占总分数和的比例

(3)计算出每个算子的累积概率 $q_i$

(4)在[0，1]区间内产生一个伪随机数 r

(5)若r<q[1]，则选择算子1，否则，选择算子k，使得：q[k-1]<r≤q[k]成立

其实就是遗传算法中选择过程所使用的轮盘赌的方法。