[简单组合数学]CF630G Challenge Pennants

这怕是我写过最水的博客了

题意

有$n$张桌子，每张桌子足够大能放下任意东西，现在有$3$个红旗子，$5$个蓝旗子，问放旗子的方案数。

解法

第一种方法是采用暴力，设$dp[i][a][b]$表示放到第$i$张桌子，已经放下$a$个红旗子和$b$个蓝旗子的方案数。输出$dp[n][3][5]$即可。
第二种方法是直接数学计算。
$5$个蓝旗子的分配方案为$[1,1,1,1,1],[2,1,1,1],[2,2,1],[3,1,1],[4,1],[3,2],[5]$。
其对应方案数为:$C_n^4,C_4^1?C_n^4(插空法),C_3^1?C_n^3,C_3^1?C_n^3,C_2^1?C_n^2,C_2^1?C_n^2,C_n^1$
$3$个红旗子的分配方案为$[1,1,1],[2,1],[3]$。
其对应方案数为:$C_n^3,C_2^1?C_n^2,C_n^1$
答案就是两个方案数的和相乘。
同时，我们可以归纳出$k$个物品放在$n$个桌子上的方案数为:${\sum }_{i=1}^k{C}_k^i?C_n^{k?i+1}$

实现

这里仅提供方法一的实现。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<map>
using namespace std;
#define LL long long
#define MAXN 500
int n;
LL dp[MAXN+5][6][4];
int main()
{
    scanf("%d",&n);dp[0][0][0]=1;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=0;j<=5;j++)for(int k=0;k<=3;k++)for(int p1=0;p1<=j;p1++)for(int p2=0;p2<=k;p2++)dp[i][j][k]+=dp[i-1][j-p1][k-p2];printf("%lld",dp[n][5][3]);
}