矩生成函数

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动差又被称为矩。随机变数X 的动差生成函数或矩母函数（moment-generating function）定义为：

前提是这个期望值存在。

计算

如果X具有连续概率密度函数f(x)，则它的动差生成函数由下式给出：

其中是第i个矩。是f(x)的双边拉普拉斯变换。

不管概率分布是不是连续，动差生成函数都可以用黎曼-斯蒂尔吉斯积分给出：

其中F是累积分布函数。

如果X1、X2、……、Xn是一系列独立的随机变量，且

其中ai是常数，则Sn的概率密度函数是每一个Xi的概率密度函数的卷积，而Sn的动差生成函数则为：

　。

对于分量为实数的向量值随机变量X，动差生成函数为：

其中t是一个向量， 是数量积。

意义

只要动差生成函数在t = 0周围的开区间存在，第n个矩为：

　。

如果动差生成函数在这个区间内是有限的，则它唯一决定了一个概率分布。

一些其它在概率论中常见的积分变换也与动差生成函数有关，包括特征函数以及概率生成函数。

累积量生成函数是动差生成函数的对数。