一、欧几里得算法
欧几里得算法又称辗转相除法，是指用于计算两个正整数a,b的最大公约数。gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)。
算法描述:
1. 输入：两个非负整数a,b，且a≥b。
2. 输出：a,b的最大公因子。
(1)当b≠0时，作
r←a mod b，a←b，b←r。
(2) 返回(a)。
代码递归实现：
int gcd(int a,int b)
{//如果a小于bif(a<b){int temp=a;a=b;b=temp;}if(b==0)return a;else return gcd(b,a%b);//递归
}
二、扩展欧几里得算法
扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y，使它们满足贝祖等式： ax+by = gcd(a, b) =d（解一定存在，根据数论中的相关定理）。
递推算法：
输入：两个非负整数a,b且a≥b。
输出：d=gcd(a,b)与满足ax+by=d的整数x与y。
1. 若b=0，则d←a，x=1，y=0，返回(d,x,y)。
2. 设x2←1，x1=0，y2=1，y1=1。
3. 当b>0时，作
(1) q←a/b，r←a-qb，x←x2-qx1，y←y2-qy1。
(2) a←b，b←r，x2←x1，x1←x，y2←y1，y1←y。
4. d←a，x←x2，y=y2，返回(d,x,y)。
递归算法推导：
设 a>b。
1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；
2，a>b>0 时
设 ax1+ by1= gcd(a,b);
bx2+ (a mod b)y2= gcd(b,a mod b);
根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b);
则:ax1+ by1= bx2+ (a mod b)y2;
即:ax1+ by1= bx2+ (a - [a / b] * b)y2=ay2+ bx2- [a / b] * by2;
说明： a-[a/b]*b即为mod运算。[a/b]代表取小于a/b的最大整数。
也就是ax1+ by1 == ay2+ b(x2- [a / b] *y2);
根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2- [a / b] *y2;
这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.
上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。
乘法逆元：
若gcd(r,m)=1，则存在整数s，使得rs≡1(mod m) 。整数s也称为r模整数m下的乘法逆元。那么当gcd(a,b)=1，有ax+by = gcd(a, b)=1，那么通过计算得出(b+x%b)%b的值就是a在b模下的乘法逆元。
递推代码实现：
int gcd(int a,int b)
{//如果a小于bif(a<b){int temp=a;a=b;b=temp;}if(b==0)return a;else return gcd(b,a%b);//递归
}int ex_Gcd(int a,int b,int &x,int &y)
{int x1=0,x2=1,y1=1,y2=0,q,d,r;//最大公因子d=gcd(a,b);if(b==0){d=a;x=1;y=0;return d;}while(b>0){q=a/b;r=a-q*b;x=x2-q*x1;y=y2-q*y1;a=b;b=r;x2=x1;x1=x;y2=y1;y1=y;}d=a;x=x2;y=y2;return d;}int main()
{int x,y;int a,b;cin>>a>>b;ex_Gcd(a,b,x,y);if(gcd(a,b)==1){cout<<"存在a的乘法逆元："<<(b+x%b)%b<<endl;}else{cout<<"不存在a的乘法逆元!"<<endl;}cout<<"x:"<<x<<endl;cout<<"y:"<<y<<endl;return 0;
}递归代码实现：
int gcd(int a,int b)
{//如果a小于bif(a<b){int temp=a;a=b;b=temp;}if(b==0)return a;else return gcd(b,a%b);//递归
}int ex_Gcd(int a, int b, int& x, int& y)
{int d;if(b!=0){d = ex_Gcd(b, a % b, y, x);//cout<<"a:"<<a<<endl;//cout<<"b:"<<b<<endl;//cout<<"x:"<<x<<endl;// cout<<"y:"<<y<<endl<<endl<<endl;y = y-(a / b) * x;}else {x = 1;y = 0;}return d;
}int main()
{int x,y;int a,b;cin>>a>>b;ex_Gcd(a,b,x,y);if(gcd(a,b)==1){cout<<"存在a的乘法逆元："<<(b+x%b)%b<<endl;}else{cout<<"不存在a的乘法逆元!"<<endl;}cout<<"x:"<<x<<endl;cout<<"y:"<<y<<endl;return 0;
}