【DP】[Atcoder Grand Contest 022]F Checkers

题意:

略

分析：

还是一道性质题。
用一个n位X进制数来表示一个坐标。
初始状态为(0,0,0,0,……0,1,0,0,……0）其中为1的位置为它的编号。由于X太大，我们完全可以忽略进位。当然，每个位置的值可能为负数。

每次选中两个点(A,B)后，新的坐标为$2B-A$，很容易发现这样合并后，最后的答案一定是$(a_1=2^{p_1},a_2=2^{p_2},a_3=2^{p_3},……,a_n=2^{p_n})$，（不过有些位置的值为负数，我实在想不出来怎么比较简单地表示了）。只要找到所有合法的这样的数即可。

现在说明性质：最终合法的状态一定满足：对任意一个位置$i$，
一定满足存在$(\sum_{p_j\leq p_i,i\neq j}a^j)+(±)a_i=1$的一种方案，这可以利用归纳法证明。这里懒得再写了。

利用这个性质，就可以写DP了
按最终状态每个数从小到大递推（即依次递推$2^0,2^1,2^2……2^k$），设$DP[i][j]$表示，确定了$i$个值，并且前i个数的和为$j\times V$，其中$\frac V 2$是上一次递推的最大的值。

转移也很好想，不会的看代码。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#define SF scanf
#define PF printf
#define MAXN 60
#define MOD 1000000007
using namespace std;
typedef long long ll;
ll dp[MAXN][MAXN],c[MAXN][MAXN]; 
int n;
int main(){SF("%d",&n);for(int i=0;i<=n;i++)for(int j=0;j<=i;j++){if(j==0)c[i][j]=1;elsec[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%MOD;}dp[1][n]=1;dp[1][n-1]=1;for(int i=1;i<n;i++)for(int j=-i;j<=i;j++){for(int sum=max(1,abs(j));sum<=n;sum++){if(i+sum>n||(sum+j)%2)continue;for(int pos=0;pos<=sum;pos++){int t=sum-pos;int val=(j+pos-t)/2;if(val<-n||val>n)continue;dp[i+sum][val+n]+=dp[i][j+n]*c[i+sum][sum]%MOD*c[sum][pos]%MOD;dp[i+sum][val+n]%=MOD;}}}PF("%lld\n",dp[n][n]);
}