运用到唯一分解定律
以下唯一分解定律证明：
转自：http://www.matrix67.com/blog/archives/495
为了真正地证明，分解质因数的方法是唯一的，我们将再次用到反证法。假设存在某些数，它们有至少两种分解方法。那么根据上文提到的“非空正整数集里存在最小的元素”，一定有一个最小的数M，它能用至少两种方法表示成质数的乘积：
M = P1 * P2 * … * Pr = Q1 * Q2 * … * Qs
下面我们将看到，这种假设会推出一个多么荒谬的结果来。不妨设P1 <= P2 <= … <= Pr, Q1 <= Q2 <= … <= Qs。显然，P1是不等于Q1的，不然两边同时约掉它，我们就得到一个更小的有两种分解方法的数。不妨设P1 < Q1，那么我们用P1替换掉等式最右边中的Q1，得到一个比M更小的数T = P1 * Q2 * Q3 * … * Qs。令M’ = M – T，我们得到M’的两种表达：
M’ = (P1 * P2 * … * Pr) – (P1 * Q2 * … * Qs) = P1 * (P2 * .. * Pr – Q2 * … * Qs) …… (1)
M’ = (Q1 * Q2 * … * Qs) – (P1 * Q2 * … * Qs) = (Q1 – P1) * Q2 * … * Qs ……………… (2)
由于T比M小，因此M’是正整数。从(1)式中我们立即看到，P1是M’的一个质因子。注意到M’比M小，因此它的质因数分解方式应该是唯一的，可知P1也应该出现在表达式(2)中。既然P1比所有的Q都要小，因此它不可能恰好是(2)式中的某个Q，于是只可能被包含在因子(Q1-P1)里。但这就意味着，(Q1-P1)/P1除得尽，也就是说Q1/P1-1是一个整数，这样Q1/P1也必须得是整数。我们立即看出，P1必须也是Q1的一个因子，这与Q1是质数矛盾了。这说明，我们最初的假设是错误的。
用e[]保存每一位素数的系数 如2^1*5^2则表示成e[1,0,2,0,0,0……] 因为素数是[2,3,5,7,11,13……], 2在第一位，5在第三位.
#include<iostream>
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#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
using namespace std;
const int maxn=10000+5;
int e[maxn]; //用e[]保存每一位素数的系数
vector<int> primes;
void GetPrime()
{int n[10000]={0};for(int i=2;i<=sqrt(10000+0.5);i++)if(!n[i])for(int j=i*i;j<=10000;j+=i) n[j]=1;for(int i=2;i<=10000;i++)if(!n[i]) primes.push_back(i);}
void add_int(int n,int d)
{for(int i=0;i<primes.size()&&n!=1;i++)while(n%primes[i]==0) {n/=primes[i];e[i]+=d;}
}
void add_fac(int n,int d)
{for(int i=1;i<=n;i++)add_int(i,d);
}
int main()
{int p,q,r,s;GetPrime();while(cin>>p>>q>>r>>s){memset(e,0,sizeof(e));add_fac(p,1);add_fac(q,-1);add_fac(p-q,-1);add_fac(s,1);add_fac(r-s,1);add_fac(r,-1);double ans=1;for(int i=0;i<primes.size();i++)if(e[i]) ans*=pow(primes[i],e[i]); printf("%.5f\n",ans);}return 0;
}