【线性代数】1.1矩阵及其运算合集_综合

矩阵及其运算合集

1.矩阵的基本概念以及意义
- 矩阵定义
- 零矩阵
- 单位矩阵
- 对角矩阵
- 两个矩阵相等
- 行向量
- 列向量
2.矩阵的基本运算
- 加法(减法)
- 数乘
- 乘法
3.矩阵的迹
4.矩阵的转置
5.对称矩阵
作业

1.矩阵的基本概念以及意义

矩阵定义

?? $m×nm\times n$ 个数排成如下 $mm\;$ 行 $nn\;$ 列的一个表格

$A=(a11a12?a1na21a22?a2n????am1am2?amn)\boldsymbol A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}$
称为是一个 $m×nm\times n$ 矩阵。当 $m = n$ 时，称矩阵A为n阶矩阵或n阶方阵。

零矩阵

??如果一个矩阵的所有元素都是0，即
$A=(00?000?0????00?0)\boldsymbol A=\begin{pmatrix}0&0&\cdots&0\\0&0&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&0\end{pmatrix}$
则称这个矩阵式零矩阵，可简记为O

单位矩阵

单位矩阵E：对角线上都为1，其他位置都为0的方阵
$E=(10?001?0????00?1)\boldsymbol E=\begin{pmatrix}1&0&\cdots&0\\0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&1\end{pmatrix}$

对角矩阵

对角矩阵：是一个主对角线之外的元素皆为0的方阵, $diag(λ1,λ2,?,λn)diag(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)$
$∧=(λ10?00λ2?0????00?λn)\boldsymbol\wedge=\begin{pmatrix}\lambda_1&0&\cdots&0\\0&\lambda_2&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&\lambda_n\end{pmatrix}$

两个矩阵相等

??两个 $m×nm\times n$ 型矩阵 $A=[aij],B=[bij]\boldsymbol A=\left[a_{ij}\right],\boldsymbol B=\left[b_{ij}\right]$ ，如果元素对应都相等，即 $a_{ij}=b_{ij}$ $(i=1,2,?,m;j=1,2,?,n)\left(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n\right)$ ，则称矩阵A与B相等，记作A=B

行向量

$α=[a1,a2,?,an]\alpha=\lbrack a_1,a_2,\cdots,a_n\rbrack$ , $1×n1\times n$ 型矩阵，即1行n列的矩阵。

列向量

$α=[a1,a2,?,an]T\alpha={\lbrack a_1,a_2,\cdots,a_n\rbrack}^T$ , $n×1n\times 1$ 型矩阵，即n行1列的矩阵。

2.矩阵的基本运算

加法(减法)

设 $A=[aij],B=[bij]\boldsymbol A=\left[a_{ij}\right],\boldsymbol B=\left[b_{ij}\right]$ 是两个 $m×nm\times n$ ，则 $m×nm\times n$ 矩阵 $C=[cij]=[aij+bij]\boldsymbol C=\left[c_{ij}\right]=\left[a_{ij}+b_{ij}\right]$ 称为矩阵A和矩阵B的和，记为 $A+B=C\boldsymbol A\boldsymbol+\boldsymbol B\boldsymbol=\boldsymbol C$ .

要求：同型矩阵

数乘

设 $A=[aij]\boldsymbol A=\left[a_{ij}\right]$ 是 $m×nm\times n$ 矩阵，k是一个常数，则 $m×nm\times n$ 矩阵 $[kaij]\left[ka_{ij}\right]$ 称为k与矩阵A的数乘，记为kA.

运算律：

$(1)A+B=B+A;(2)(A+B)+C=A+(B+C);(3)A+O=A;(4)A+(?A)=O;(5)1A=A;(6)λ(μA)=(λμ)A;(7)λ(A+B)=λA+λB;(8)(λ+μ)A=λA+μA;(1)A+B=B+A;\\(2)(A+B)+C=A+(B+C);\\(3)A+O=A;\\(4)A+(-A)=O;\\(5)1A=A;\\(6)\lambda(\mu A)=(\lambda\mu)A;\\(7)\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B;\\(8)(\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A;$

乘法

设 $A=[aij]\boldsymbol A=\left[a_{ij}\right]$ 是 $m×nm\times n$ 矩阵， $B=[bij]\boldsymbol B=\left[b_{ij}\right]$ 是 $n×sn\times s$ 矩阵，那么 $m×sm\times s$ 矩阵 $C=[cij]\boldsymbol C=\left[c_{ij}\right]$ ，其中 $cij=ai1b1j+ai2b2j+?+ainbnj=∑k=1naikbkjc_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{in}b_{nj}=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}$ ,称为A与B的乘积，记为C=AB 。

法则：
(1) $A (B C) = (A B) C$
(2) $A (B + C) = A B + B C; (A + B) C = A C + B C$
(3) $(μA)(λB)=μλAB(\mu A)(\lambda B)=\mu\lambda AB$
(4) $A E = E A = A$
(5) $O A = A O = O$

注意：

A的列数和B的行数相等;
矩阵乘法不满足交换律，一般 $AB≠BAAB\neq BA$ ;
由 $A B = 0$ 不能得到 $A = O$ 或 $B = O$ ;

3.矩阵的迹

矩阵（方阵）A的迹： $tr(A)=∑iaiitr(A)=\sum_ia_{ii}$ ，即矩阵主对角线元素之和 .
$AB≠BAAB\neq BA$ ,但是 $t r (A B) = t r (B A)$

4.矩阵的转置

将矩阵A中元素的行序和列序交换顺序得到的新矩阵，称为A的转置矩阵。
公式：
$(AT)T=A;(A+B)T=AT+BT;(kA)T=kAT;(AB)T=BTAT.\left(A^T\right)^T=A;\\\left(A+B\right)^T=A^T+B^T;\\{(kA)}^T=kA^T;\\\left(AB\right)^T=B^TA^T.$

5.对称矩阵

对称矩阵是一个方阵，其转置矩阵和自身相等，即 $A^T=A$ ， $a_{ij}=a_{ji}$ 。对称阵特点：它的元素以主对角线为对称轴对应相等。

补充
如果x,y均为n维列向量， $xT=[x1,x2,?,xn],yT=[y1,y2,?,yn]x^T=\left[x_1,x_2,\cdots,x_n\right],y^T=\left[y_1,y_2,\cdots,y_n\right]$ ，即：

$x=[x1x2?xn],y=[y1y2?yn]x\;=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix},y=\begin{bmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{bmatrix}$

$x^Ty=y^Tx$ 的结果是两个向量的点积
$xy^T$ 和 $yx^T$ 的结果是一个矩阵

$xTy=yTx=x1y1+x2y2+?+xnynx^Ty=y^Tx=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n$

$xTy=[x1,x2,?,xn][y1y2?yn]=x1y1+x2y2+?+xnynyTx=[y1,y2,?,yn][x1x2?xn]=x1y1+x2y2+?+xnynx^Ty=\left[x_1,x_2,\cdots,x_n\right]\begin{bmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{bmatrix}=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n\\y^Tx=\left[y_1,y_2,\cdots,y_n\right]\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n$

$xyT=[x1x2?xn][y1,y2,?,yn]yxT=[y1y2?yn][x1,x2,?,xn]xy^T=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}\left[y_1,y_2,\cdots,y_n\right]\\yx^T=\begin{bmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{bmatrix}\left[x_1,x_2,\cdots,x_n\right]\\$

作业

1、
【线性代数】1.1矩阵及其运算合集
2、请自己独立证明tr(AB)=tr(BA)
3、编程实现函数求两个矩阵的乘法
4、学习Numpy中如何构造矩阵，以及两个矩阵如何做加减乘，如何求转置

1.证： ${(B^TAB)}^T=B^TA^TB=B^TAB$
2.证：
$Am×n,Bn×m∵tr(AB)=∑i=1n(AB)ii=∑i=1m(∑j=1naijbij)∵tr(BA)=∑i=1n∑j=1m(BA)=∑i=1n(∑j=1mbijaji)∴tr(AB)=tr(BA)A_{m\times n},B_{n\times m}\\\because tr(AB)={\sum_{i=1}^n{(AB)}_{ii}}=\sum_{i=1}^m(\sum_{j=1}^na_{ij}b_{ij})\\\because tr(BA)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m(BA)=\sum_{i=1}^n(\sum_{j=1}^mb_{ij}a_{ji})\\\therefore tr(AB)=tr(BA)$
证毕。
3.

def pro():res = [[0] * len(B[0]) for i in range(len(A))]for i in range(len(A)):for j in range(len(B[0])):for k in range(len(B)):res[i][j] += A[i][k] * B[k][j]return res

In [1]: import numpy as npIn [2]: A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])In [3]: B = np.array([[3, 4, 8], [5, 2, 1], [4, 5, 9]])In [4]: A+B
Out[4]:
array([[ 4,  6, 11],[ 9,  7,  7],[11, 13, 18]])In [5]: A-B
Out[5]:
array([[-2, -2, -5],[-1,  3,  5],[ 3,  3,  0]])In [6]: A*B
Out[6]:
array([[ 3,  8, 24],[20, 10,  6],[28, 40, 81]])In [7]: A.dot(B)
Out[7]:
array([[ 25,  23,  37],[ 61,  56,  91],[ 97,  89, 145]])In [8]: A.T
Out[8]:
array([[1, 4, 7],[2, 5, 8],[3, 6, 9]])