【线性代数】1.2矩阵的行列式与克莱姆法则_综合

矩阵的行列式与克莱姆法则

1.行列式的引入
2.行列式
3.余子式与代数余子式
3.重要定理
4.主要公式
5.方阵的行列式
6.克莱姆法则

1.行列式的引入

用消元法解二元线性方程组
${a11x1+a12x2=b1,a21x1+a22x2=b2.\left\{\begin{array}{l}a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1,\\a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_{2.}\end{array}\right.$
为消去未知数 $x_2$ ，以 $a_{22}$ 与 $a_{12}$ 分别乘上列方程的两端，然后两个方程相减，得
$(a11a22?a12a21)x1=b1a22?a12b2\left(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\right)x_1=b_1a_{22}-a_{12}b_2$
类似地，消去 $x_1$ ，得
$(a11a22?a12a21)x2=b2a11?a21b1\left(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\right)x_2=b_2a_{11}-a_{21}b_1$
当 $(a11a22?a12a21)≠0\left(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\right)\neq0$ 时，求得方程组（1）的解为
$x1=b1a22?a12b2a11a22?a12a21,x2=b2a11?a21b1a11a22?a12a21.x_1=\frac{b_1a_{22}-a_{12}b_2}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}},x_2=\frac{b_2a_{11}-a_{21}b_1}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}.$
若记
$D=∣a11a12a21a22∣,D1=∣b1a12b2a22∣,D2=∣a11b1a21b2∣D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix},\;D_1=\begin{vmatrix}b_1&a_{12}\\b_2&a_{22}\end{vmatrix},\;D_2=\begin{vmatrix}a_{11}&b_1\\a_{21}&b_2\end{vmatrix}$
那么（2）式可写成
$x1=D1D=∣b1a12b2a22∣∣a11a12a21a22∣,x2=D2D=∣a11b1a21b2∣∣a11a12a21a22∣x_1=\frac{D_1}D=\frac{\begin{vmatrix}b_1&a_{12}\\b_2&a_{22}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}},\;x_2=\frac{D_2}D=\frac{\begin{vmatrix}a_{11}&b_1\\a_{21}&b_2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}$

2.行列式

1.概念：不同行不同列元素乘积的代数和（共 $n!$ 项）
?
$n$ 阶行列式
$∣a11a12?a1na21a22?a2n????an1an2?ann∣\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$
式所有取自不同行不同列的 $n$ 个元素的乘积
$a1j1a2j2?anjna_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}$
的代数和，这里 $j1j2?jnj_1j_2\cdots j_n$ 是 $1,2,?,n1,2,\cdots,n$ 的一个排列。当 $j1j2?jnj_1j_2\cdots j_n$ 是偶排列时，该项的前面带正号；当 $j1j2?jnj_1j_2\cdots j_n$ 是奇排列时，该项的前面带负号，即
$∣a11a12?a1na21a22?a2n????an1an2?ann∣=∑j1j2?jn(?1)τ(j1j2?jn)a1j1a2j2?anjn\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\sum_{j_1j_2\cdots j_n}{(-1)}^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}$
这里 $∑j1j2?jn\sum_{j_1j_2\cdots j_n}$ 表示对所有 $n$ 阶行列式的完全展开式
?

一个排列中，如果一个大的数排在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序。一个排列的逆序总数称为这个排列的逆序数。用 $τ(j1j2?jn){\tau(j_1j_2\cdots j_n)}$ 表示 $j1j2?jnj_1j_2\cdots j_n$ 的逆序数。
?
2.性质

经转置行列式的值不变，即 $∣AT∣=∣A∣\left|A^T\right|=\left|A\right|$
某行有公因数 $k$ ，可以把 $k$ 提到行列式外.特别地，某行元素全为0，则行列式的值为0.
两行互换行列式变号.特别地，两行相等，行列式值为0；两行成比例，行列式值为0.
某行所有元素都是两个数的和，则可以写成两个行列式之和.
某行的 $k$ 倍加至另一行，行列式的值不变.

3.二阶、三阶行列式

$∣abcd∣=ad?bc\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$
$∣a1a2a3b1b2b3c1c2c3∣=a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2?a3b2c1?a2b1c3?a1b3c2\begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\end{vmatrix}=a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2-a_3b_2c_1-a_2b_1c_3-a_1b_3c_2$

3.余子式与代数余子式

在 $n$ 阶行列式
$D=∣a11a12?a1na21a22?a2n???an1an2?ann∣D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$
中划去元素 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行、第 $j$ 列，由剩下的元素按原来的排法构成一个 $n ? 1$ 阶行列式
$∣a11?a1,j?1a1,j+1?a1n????ai?1,1?ai?1,j?1ai?1,j+1?ai?1,nai?1,1?ai+1,j?1ai+1,j+1?ai+1,n????an1?an,j?1an,j+1?ann∣\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1,j-1}&a_{1,j+1}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{i-1,1}&\cdots&a_{i-1,j-1}&a_{i-1,j+1}&\cdots&a_{i-1,n}\\a_{i-1,1}&\cdots&a_{i+1,j-1}&a_{i+1,j+1}&\cdots&a_{i+1,n}\\\vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{n,j-1}&a_{n,j+1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$
称为 $a_{ij}$ 的余子式，记为 $M_{ij}$ ；称 ${(-1)}^{i+j}M_{ij}$ 为 $a_{ij}$ 的代数余子式，记为 $A_{ij}$ ，即
$A_{ij}={(-1)}^{i+j}M_{ij}$

3.重要定理

定理1：行列式按第 $k$ 行的展开公式
在 $n$ 阶行列式
$D=∣a11a12?a1na21a22?a2n???an1an2?ann∣D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$
等于它的任意一行的所有元素与它们各自对应的代数余子式的乘积之和，即
$D=ak1Ak1+ak2Ak2+?+aknAkn(k=1,2,?,n)D=a_{k1}A_{k1}+a_{k2}A_{k2}+\cdots+a_{kn}A_{kn}(k=1,2,\cdots,n)$
?
定理2：行列式按第 $k$ 列的展开公式
$n$ 阶行列式 $D$ 等于它的任意一列的所有元素与它们各自对应的代数余子式的乘积之和，即
$D=a1kA1k+a2kA2k+?+ankAnk(k=1,2,?,n)D=a_{1k}A_{1k}+a_{2k}A_{2k}+\cdots+a_{nk}A_{nk}(k=1,2,\cdots,n)$
?
定理3
在 $n$ 阶行列式
$D=∣a11a12?a1na21a22?a2n???an1an2?ann∣D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$
元素 $a_{ij}$ 的代数余子式 $A_{ij}$ ，当 $i≠k(i,k=1,2,?,n)i\neq k(i,k=1,2,\cdots,n)$ 时，有
$ak1Ak1+ak2Ak2+?+aknAkn=0a_{k1}A_{k1}+a_{k2}A_{k2}+\cdots+a_{kn}A_{kn}=0$
当 $j≠k(j,k=1,2,?,n)j\neq k(j,k=1,2,\cdots,n)$ 时，有
$a1jA1k+a2jA2k+?+anjAnk=0a_{1j}A_{1k}+a_{2j}A_{2k}+\cdots+a_{nj}A_{nk}=0$

4.主要公式

（1）上（下）三角行列式的值等于主对角线元素的乘积
$D=∣a11a12?a1na22?a2n??ann∣=∣a11a21a22??an1an2?ann∣=a11a22?annD=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\&&\ddots&\vdots\\&&&a_{nn}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&&&\\a_{21}&a_{22}&&\\&\vdots&\ddots&\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$
（2）关于副对角线的行列式
$D=∣a11a12?a1,n?1a1na21a22?a2,n?10????an10?00∣=∣0?0a1n0a22a2,n?1a2n????an1?an,n?1ann∣=(?1)n(n?1)2a1na2,n?1?an1D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1,n-1}&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2,n-1}&0\\\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\a_{n1}&0&\cdots&0&0\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&\cdots&0&a_{1n}\\0&a_{22}&a_{2,n-1}&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{n,n-1}&a_{nn}\end{vmatrix}={(-1)}^\frac{n(n-1)}2a_{1n}a_{2,n-1}\cdots a_{n1}$
(3)拉普拉斯行列式
$∣A?OB∣=∣AO?B∣=∣A∣?∣B∣\begin{vmatrix}A&\ast\\O&B\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\mathrm A&O\\\ast&\mathrm B\end{vmatrix}=\left|A\right|\cdot\left|B\right|$
$∣OAB?∣=∣?ABO∣=(?1)mn∣A∣?∣B∣\begin{vmatrix}\mathrm O&A\\\mathrm B&\ast\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\ast&A\\\mathrm B&\mathrm O\end{vmatrix}={(-1)}^{mn}{\vert\mathrm A\vert}\cdot{\vert\mathrm B\vert}$
(4)范德蒙德行列式
$∣11?1x1x2?xnx12x22?xn2???x1n?1x2n?1?xnn?1∣=∏1?j?i?n(xi?xj)\begin{vmatrix}1&1&\cdots&1\\x_1&x_2&\cdots&x_n\\x_1^2&x_2^2&\cdots&x_n^2\\\vdots&\vdots&&\vdots\\x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\cdots&x_n^{n-1}\end{vmatrix}=\prod_{1\leqslant j\leqslant i\leqslant n}(x_i-x_{j)}$

5.方阵的行列式

$(1)∣AT∣=∣A∣(2)∣kA∣=kn∣A∣(3)∣AB∣=∣A∣∣B∣(4)∣A?∣=∣A∣n?1(5)∣A?1∣=∣A∣?1(A为可逆矩阵)(6)∣A∣=∏λii=1n(λi是A的特征值)(7)∣A∣=∣B∣(A与B相似)(1)\left|A^T\right|=\left|A\right|\\(2)\left|kA\right|=k^n\left|A\right|\\(3)\left|AB\right|=\left|A\right|\left|B\right|\\(4)\left|A^\ast\right|=\left|A\right|^{n-1}\\(5)\left|A^{-1}\right|=\left|A\right|^{-1}(A\mathrm{为可逆矩阵})\\(6)\left|A\right|=\overset n{\underset{i=1}{\prod\lambda_i}}(\lambda_i是A\mathrm{的特征值})\\(7)\left|A\right|=\left|B\right|(A与B\mathrm{相似})$

6.克莱姆法则

若 $n$ 个方程 $n$ 个未知数的线性方程组
${a11x1+a12x2+?+a1nxn=b1a21x1+a22x2+?+a2nxn=b2???an1x1+an2x2+?+annxn=bn\left\{\begin{array}{l}a_{11}x_1+a_{12}x2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\\;\;\;\;\vdots\;\;\;\;\;\;\;\;\;\vdots\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\vdots\\a_{n1}x_1+a_{n2}x2+\cdots+a_{nn}x_n=b_n\end{array}\right.$
的系数行列式
$D=∣a11a12?a1na21a22?a2n???an1an2?ann∣≠0D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\neq0$
则方程组有唯一解
$x1=D1D,x2=D2D,?,xn=DnDx_1=\frac{D_1}D,x_2=\frac{D_2}D,\cdots,x_n=\frac{D_n}D$
?
定理

非齐次线性方程组( $Ax=b\boldsymbol A\boldsymbol x=b$ )

非齐次线性方程组的系数行列式 $D≠0D\neq0$ ，则非齐次线性方程组一定有解，解是唯一的。
如果非齐次线性方程组无解或者有两个不同的解，则他的系数行列式必为0

齐次线性方程组( $Ax=0\boldsymbol A\boldsymbol x=0$ )

如果齐次线性方程组的系数行列式 $D≠0D\neq0$ ，则齐次线性方程组没有非零解，即只有零解。
如果齐次线性方程组有非零解，则 $∣A∣=0\left|A\right|=0$ .