【线性代数】1.3伴随矩阵和逆矩阵_综合

伴随矩阵和逆矩阵

1.伴随矩阵
- 1.定义
- 2.二阶矩阵的逆矩阵
- 3.公式
2.逆矩阵
- 1.定义
- 2.定理
- 3.公式
3.作业

1.伴随矩阵

1.定义

设 $A=[aij]A=\lbrack a_{ij}\rbrack$ 是 $n$ 阶矩阵，行列式 $∣A∣\left|A\right|$ 的每个元素 $a_{ij}$ 的代数余子式 $A_{ij}$ 所构成的如下的矩阵
$A?=[A11A21?An1A12A22?An2???A1nA2n?Ann]A^\ast=\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn}\end{bmatrix}$
称为矩阵 $A$ 的伴随矩阵.

2.二阶矩阵的逆矩阵

对于2阶矩阵，用主对角线元素对换，副对角线元素变号即可求出伴随矩阵。
$A?=[A11A21A12A22]=[d?b?ca]A^\ast=\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}\\A_{12}&A_{22}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}$

3.公式

$AA?=A?A=∣A∣E;A?=∣A∣A?1;∣A?∣=∣A∣n?1;(A?)?1=(A?1)?=1∣A∣A;(A?)T=(AT)?;(kA)?=kn?1A?;(A?)?=∣A∣n?2A;r(A?)={n,如果r(A)=n,1,如果r(A)=n?1,0,如果r(A)<n?1.AA^{ {}_{ {}_\ast}}=A^{ {}_{ {}_\ast}}A=\left|A\right|E;\\A^{ {}_{ {}_\ast}}=\left|A\right|A^{-1};\left|A^{ {}_{ {}_\ast}}\right|=\left|A\right|^{n-1};\\\left(A^\ast\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^\ast=\frac1{\left|A\right|}A;\\\left(A^\ast\right)^T=\left(A^T\right)^\ast;\left(kA\right)^\ast=k^{n-1}A^{ {}_{ {}_\ast}};\left(A^\ast\right)^\ast=\left|A\right|^{n-2}A;\\r(A^\ast)=\left\{\begin{array}{l}n,\;\;\mathrm{如果}r(A)=n,\\1,\;\;\mathrm{如果}r(A)=n-1,\\0,\;\;\;\mathrm{如果}r(A)<n-1.\end{array}\right.$

2.逆矩阵

1.定义

设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，如果存在是 $n$ 阶矩阵 $B$ 使得 $A B = B A = E$ （单位矩阵）成立，则称 $A$ 是可逆矩阵或非奇异矩阵， $B$ 是 $A$ 的逆矩阵。

2.定理

若 $A$ 是可逆矩阵，则矩阵 $A$ 的逆矩阵唯一，记为 $A^{-1}$ .
$n阶矩阵A可逆?∣A∣≠0?r(A)=n?A的列(行)向量组线性无关?A=P1P2?PsPi(i=1,2,?,s)是初等矩阵?A与单位矩阵等价?0不是矩阵A的特征值n\mathrm{阶矩阵}A\mathrm{可逆}\\ \Leftrightarrow\left|A\right|\neq0\\\Leftrightarrow r(A)=n\\\Leftrightarrow A\mathrm{的列}(行)\mathrm{向量组线性无关}\\\Leftrightarrow A=P_1P_2\cdots P_sP_i(i=1,2,\cdots,s)\mathrm{是初等矩阵}\\\Leftrightarrow A\mathrm{与单位矩阵等价}\\\Leftrightarrow0\mathrm{不是矩阵}A\mathrm{的特征值}$
若 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，则满足 $A B = E$ ，则必有 $B A = E$

3.公式

$(A?1)?1=A;(kA)?1=1kA?1(k≠0);(AB)?1=B?1A?1;(An)?1=(A?1)n;(A?1)T=(AT)?1;∣A?1∣=1∣A∣;A?1=1∣A∣A?\left(A^{-1}\right)^{-1}=A;\left(kA\right)^{-1}=\frac1kA^{-1}\left(k\neq0\right);\\\left(AB\right)^{-1}=B^{-1}A^{-1};\left(A^n\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^n;\\\left(A^{-1}\right)^T=\left(A^T\right)^{-1};\left|A^{-1}\right|=\frac1{\left|A\right|};\\A^{-1}=\frac1{\left|A\right|}A^\ast$

3.作业

5、矩阵求逆函数

In [1]: import numpy as npIn [2]: a = np.array([[-2, 3, 3], [1, -1, 0], [-1, 2, 1]])In [3]: np.linalg.inv(a)
Out[3]:
array([[-0.5,  1.5,  1.5],[-0.5,  0.5,  1.5],[ 0.5,  0.5, -0.5]])In [4]: A = np.matrix(a)In [5]: A.I
Out[5]:
matrix([[-0.5,  1.5,  1.5],[-0.5,  0.5,  1.5],[ 0.5,  0.5, -0.5]])In [6]: b = np.array([[0, 3, 3], [1, 1, 0], [-1, 2, 3]])In [7]: a.dot(b)
Out[7]:
array([[ 0,  3,  3],[-1,  2,  3],[ 1,  1,  0]])