【线性代数】1.4矩阵的初等变换

1.矩阵的初等变换与初等矩阵

1. 初等变换

1.定义

对于$m\times n$矩阵，下列三种变换
（1）用非零常数$k$乘以矩阵的某一行（列）；
（2）互换矩阵某两行（列）的位置；
（3）把某行（列）的$k$倍加至另一行（列）；
称为矩阵的初等行（列）变换，统称为矩阵的初等变换。

等价：

• 如果矩阵$A$经过有限次初等变换成矩阵$B$，则称矩阵$A$与矩阵$B$等价，记作$A?B$.
• 数学描述：$A\to ?\to B?PAQ=B,其中P,Q可逆$

3.定理

1. 用初等矩阵$P$左（右）乘矩阵$A$，其结果$PA(AP)$就是对矩阵$A$作一次相应的初等行（列）变换.

2. 初等矩阵均可逆，且其逆是同类型的初等矩阵，即
   $$E_i^{?1}(k)=E_i(\frac{1}{k});E_{ij}^{?1}(k)=E_{ij}(?k);;E_{ij}^{?1}=;E_{ij}.$$

3. 矩阵$A$与矩阵$B$等价的充分必要条件是存在可逆矩阵$P$与$Q$，使得$PAQ=B$.

4. 秩$r(a)=A$的列秩$=A$的行秩

5. 矩阵经初等变换后秩不变.

2.初等矩阵

单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵.
例如，3阶矩阵作如下初等变换
$E_{1,2}=?\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}?$，$E$一、二行互换（或一、二列互换）,
$E_{1,2}\left(3\right)=?\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 3& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}?$，$E$第一行的3倍加至第二行（或第二列的3倍加至第一列）,
$E_3\left(?2\right)=?\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& ?2\end{array}?$，$E$第三行乘以-2（第三列乘以-2）
均是初等矩阵.

??初等矩阵$P$左乘$A$所得$PA$就是对$A$作了一次与$P$同样的行变换

3.行阶梯矩阵

（1）如果矩阵中有零行（即这一行元素全是0），则零行在矩阵的底部.
（2）每个非零行的主元（即该行最左边的第一个非零元），它们的列指标随着行指标的递增而严格增大.
$$?\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 3\\ 0& 1& ?1& 5\\ 0& 0& 0& 6\end{array}?,?\begin{array}{cccc}3& 0& 1& ?4\\ 0& 0& 2& 7\\ 0& 0& 0& 0\end{array}?是行阶梯矩阵.$$

4.行最简矩阵

一个行阶梯矩阵，如果还满足：
??非零行的主元都是1，且主元所在的列的其他元素都是0，则称其为行最简矩阵.
$$?\begin{array}{cccc}1& 0& ?1& 0\\ 0& 1& 2& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}?,?\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 2\\ 0& 0& 1& 3\\ 0& 0& 0& 0\end{array}?是行最简矩阵.$$

5.正交矩阵

1.定义：$n$阶矩阵$A$，如果满足$A{A}^T=A^{T}A=E$.
2.结论：

• $A$是正交矩阵$?A^T=A^{?1}$
• $A$是正交矩阵$?{\left|A\right|}^2=1$

6.对称矩阵

1.定义：$n$阶矩阵$A$，如果满足$A^T=A$.
2.结论：$A^T=A?a_{ij}=a_{ji}$

7.反对称矩阵

1.定义：$n$阶矩阵$A$，如果满足$A^T=?A$.
2.结论：$A^T=?A?a_{ii}=0,a_{ij}=a_{ji}$

2.逆矩阵的求法

1.定义法

$AB=BA=E$

2.初等行变换

$\left(A?E\right)\stackrel{行变换}{\to }\left(E?A^{?1}\right)$

3.伴随矩阵

$A^{?1}=\frac{A^{?}}{|A|}$