【线性代数】1.5矩阵的秩_综合

矩阵的秩

1.矩阵的秩
- 1.概念
- 2.理解
- 3.公式
2.线性方程组
- 1.非齐次线性方程组
- 2.齐次线性方程组
- 3.增广矩阵
- 4.系数矩阵
- 5.矩阵表示
- 6.线性方程组的初等变换
- 7.基础解系
- 8.定理
3.作业

1.矩阵的秩

1.概念

??在 $m×nm\times n$ 的矩阵 $A$ 中，任取 $k$ 行 $k$ 列( $k?m,k?nk\leqslant m,k\leqslant n$ )，位于这些行与列的交叉点上的 $k^2$ 个元组按其在原来矩阵 $A$ 中的次序可构成一个 $k$ 阶行列式，称其为矩阵 $A$ 的一个 $k$ 阶子式.
??矩阵 $A$ 的非零子式的最高阶系数称为矩阵 $A$ 的秩，记为 $r (A)$ .零矩阵的秩规定为0.

2.理解

$r(A)=r?Ar(A)=r\Leftrightarrow A$ 中有 $r$ 阶子式不为0，任何 $r + 1$ 阶子式（若还有）必全为0.
$r(A)<r?Ar(A)<r\Leftrightarrow A$ 中必有每一个 $r$ 阶子式全为0.
$r(A)?r?Ar(A)\geqslant r\Leftrightarrow A$ 中有 $r$ 阶子式不为0.
?
特别地， $r(A)=0?A=Or(A)=0\Leftrightarrow A=O$ .
$A≠0?r(A)?1A\neq0\Leftrightarrow r(A)\geqslant1$
若是 $A$ 是 $n$ 的矩阵，
$r(A)=n?∣A∣≠0?A可逆r(A)=n\Leftrightarrow\left|A\right|\neq0\Leftrightarrow A\mathrm{可逆}$
$r(A)<n?∣A∣=0?A不可逆r(A)<n\Leftrightarrow\left|A\right|=0\Leftrightarrow A\mathrm{不可逆}$
若是 $A$ 是 $m×nm\times n$ 的矩阵，则 $r(A)?min(m,n)r(A)\leqslant min\left(m,n\right)$

3.公式

$r(A)=r(AT);r(ATA)=r(A);当k≠0时,r(kA)=r(A);r(A+B)?r(A)+r(B);r(AB)?min(r(A),r(B));若A可逆,则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B);若A是m×n矩阵,B是n×s矩阵,AB=O,则r(A)+r(B)?n;r[AOOB]=r(A)+r(B)若A?B,则r(A)=r(B),r(A+kE)=r(B+kE)r\left(A\right)=r\left(A^T\right);r\left(A^TA\right)=r\left(A\right);\\当k\neq0时,r\left(kA\right)=r\left(A\right);\\r\left(A+B\right)\leqslant r\left(A\right)+r\left(B\right);\\r\left(AB\right)\leqslant min\left(r\left(A\right),r\left(B\right)\right);\\若A\mathrm{可逆},则r\left(AB\right)=r\left(B\right),r\left(BA\right)=r\left(B\right);\\若A是m\times n\mathrm{矩阵},B是n\times s\mathrm{矩阵},AB=O,则r\left(A\right)+r\left(B\right)\leqslant n;\\r\begin{bmatrix}A&O\\O&B\end{bmatrix}=r\left(A\right)+r\left(B\right)\\若A\sim B,则r\left(A\right)=r\left(B\right),r(A+kE)=r(B+kE)$

2.线性方程组

1.非齐次线性方程组

$方程组{a11x1+a12x2+?+a1nxn=b1a21x1+a22x2+?+a2nxn=b2???am1x1+am2x2+?+amnxn=bm\mathrm{方程组}\left\{\begin{array}{l}a_{11}x_1+a_{12}x2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\\;\;\;\;\vdots\;\;\;\;\;\;\;\;\;\vdots\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\vdots\\a_{m1}x_1+a_{m2}x2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m\end{array}\right.$
称为 $n$ 个未知数 $m$ 个方程的非齐次线性方程组，其中 $x1,x2,?,xnx_1,x_2,\cdots,x_n$ 代表 $n$ 个未知量， $m$ 是方程的个数， $m$ 可以等于 $n$ ，也可以大于 $n$ 或者小于 $n$ ， $a_{ij}$ 是第 $(i=1,2,?,m)(i=1,2,\cdots,m)$ 个方程中 $x_{j}$ $(j=1,2,?,n)(j=1,2,\cdots,n)$ 的系数， $b_{i}$ $(i=1,2,?,m)(i=1,2,\cdots,m)$ 是第 $i$ 个方程的常数项.

2.齐次线性方程组

??如果 $b_{i}=0$ $(?i=1,2,?,m)(\forall i=1,2,\cdots,m)$ ，则方程组
${a11x1+a12x2+?+a1nxn=0a21x1+a22x2+?+a2nxn=0???am1x1+am2x2+?+amnxn=0\left\{\begin{array}{l}a_{11}x_1+a_{12}x2+\cdots+a_{1n}x_n=0\\a_{21}x_1+a_{22}x2+\cdots+a_{2n}x_n=0\\\;\;\;\;\vdots\;\;\;\;\;\;\;\;\;\vdots\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\vdots\\a_{m1}x_1+a_{m2}x2+\cdots+a_{mn}x_n=0\end{array}\right.$
为齐次线性方程组.

3.增广矩阵

非齐次线性方程组的全体系数及常数项所构成的矩阵
$A?=[a11a12?a1nb1a21a22?a2nb2????am1am2?amnbm]\overline A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&b_1\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&b_2\\\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}&b_m\end{bmatrix}$

4.系数矩阵

全体系数组成的矩阵
$A=[a11a12?a1na21a22?a2n???am1am2?amn]A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{bmatrix}$

5.矩阵表示

非齐次线性方程组用矩阵表示： $A x = b$ ，其中 $x=[x1,x2,?,xn]Tx=\begin{bmatrix}x_1,&x_2,&\cdots,&x_n\end{bmatrix}^T$ ， $b=[b1,b2,?,bm]Tb=\begin{bmatrix}b_1,&b_2,&\cdots,&b_m\end{bmatrix}^T$

6.线性方程组的初等变换

（1）用一个非零常数乘方程的两边；
（2）把某方程的 $k$ 倍加到另一方程上；
（3）互换两个方程的位置；

7.基础解系

8.定理

3.作业

1. 【线性代数】1.5矩阵的秩
2.

3.总结现在为止矩阵可逆的充要条件

$n阶矩阵A可逆?∣A∣≠0?r(A)=n?A的列(行)向量组线性无关?A=P1P2?PsPi(i=1,2,?,s)是初等矩阵?A与单位矩阵等价?0不是矩阵A的特征值n\mathrm{阶矩阵}A\mathrm{可逆}\\ \Leftrightarrow\left|A\right|\neq0\\\Leftrightarrow r(A)=n\\\Leftrightarrow A\mathrm{的列}(行)\mathrm{向量组线性无关}\\\Leftrightarrow A=P_1P_2\cdots P_sP_i(i=1,2,\cdots,s)\mathrm{是初等矩阵}\\\Leftrightarrow A\mathrm{与单位矩阵等价}\\\Leftrightarrow0\mathrm{不是矩阵}A\mathrm{的特征值}$