【线性代数】1.7矩阵的二次型

1.二次型矩阵

??含有$n$个变量$x_1,x_2,?,x_n$的二次齐次函数
$f\left(x_1,x_2,?,x_n\right)=a_{11}{x}_1^2+a_{22}{x}_2^2+?+a_{nn}{x}_n^2$
$$\begin{gathered} +2a_{12}{x}_1{x}_2+2a_{13}{x}_1{x}_3+?+2a_{1n}{x}_1{x}_n \\ +2a_{23}{x}_2{x}_3+?+2a_{2n}{x}_2{x}_n \\ +?+2a_{n?1,n}{x}_{n?1}{x}_n \end{gathered}$$
称为$n$元二次型.若规定$a_{ij}=a_{ji},?i,j=1,2,?,n$，则二次型有矩阵表示$$f\left(x_1,x_2,?,x_n\right)={\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}$$
其中$x={\left[x_1,x_2,?,x_n\right]}^T$，$A=[a_{ij}]$且$A^T=A$是对称矩阵，称$A$为二次型的矩阵.秩$r(A)$称为二次型的秩，记为$r(f)$

注意：矩阵为实对称矩阵。

2.标准形与规范形

1.标准形

??如果二次型中只含有变量分平方项，所有混合项$x_i{x}_j(i?=j)$的系数全是零，即$${\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}=d_1{x}_1^2+d_2{x}_2^2+?+d_n{x}_n^2,$$这样的二次型称为标准形

2.规范形

??在标准形中，若平方项的系数$d_j$为1，-1或 0，即$${\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}=x_1^2+x_2^2+?+x_p^2?x_{p+1}^2???x_{p+q}^2,$$则称其为二次型的规范形.

3.正负惯性指数

1.概念

??在二次型${\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}$的标准形中，正平方项的个数$p$称为二次型的正惯性指数，负平方项的个数$q$称为二次型的负惯性指数.

2.惯性定理

??对于一个二次型，不论选取怎么的坐标变换是它换位仅含平方项的标准形，其中正平方项的个数$p$，负平方项的个数$q$都是由所给二次型唯一确定的.

3.坐标变换

1.概念

如果方程组
$$?\begin{array}{l}{x}_1=c_{11}{y}_1+c_{12}{y}_2+c_{13}{y}_3\\ x_2=c_{21}{y}_1+c_{22}{y}_2+c_{23}{y}_3\\ x3=c_{31}{y}_1+c_{32}{y}_2+c_{33}{y}_3\end{array}$$满足
$$\left|C\right|=\left|\begin{array}{ccc}{c}_{11}& c_{12}& c_{13}\\ c_{21}& c_{22}& c_{23}\\ c_{31}& c_{32}& c_{33}\end{array}\right|?=0$$
称为方程组为由$x={\left[x_1,x_2,x_3\right]}^T$到$y={\left[y_1,y_2,y_3\right]}^T$的坐标变换.
?
坐标变换用矩阵表示，即
$$?\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}?=?\begin{array}{ccc}{c}_{11}& c_{12}& c_{13}\\ \begin{array}{c}{c}_{21}\end{array}& c_{22}& c_{23}\\ \begin{array}{c}{c}_{31}\end{array}& c_{32}& c_{33}\end{array}??\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}?，或\mathbf{x}=\mathbf{C}\mathbf{y}$$其中$C$是可逆矩阵.

2.定理

4.合同变换

两个$n$阶矩阵$A$和$B$，如果存在可逆矩阵$C$使得
$$C^{T}AC=B，$$就称矩阵$A$和$B$合同，记作$A?B$.并称由$A$到$B$的变换为合同变换，称$C$为合同变换的矩阵.

5.正定二次型

1.概念

??对二次型${\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}$，如果对任何$x?=0$，恒有${\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}>0$，则称二次型${\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}$是正定二次型，并称是对称矩阵$A$是正定矩阵.

2.判定定理

$n$元二次型${\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}$正定的充分必要条件有：
（1）$A$的正惯性指数是$n$；
（2）$A$与$E$合同，即存在可逆矩阵$C$，使得$C^{T}AC=E$;
（3）$A$的所有特征值$\lambda (i=1,2,?,n)$均为整数;
（4）$A$的各阶顺序主子式均大于零.
推论??${\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}$正定的必要条件是：
（1）$a_{ii}>0(i=1,2,?,n)$；
（2）$\left|A\right|>0$

6.例题

7.作业

6.用numpy求特征值特征向量

import numpy as np
A = np.mat([[1, 0], [0, 1]])
eigvalue, eigvector = np.linalg.eig(A)
print(eigvalue, eigvector)

[1. 1.] [[1. 0.][0. 1.]]