Andrew Ng cs229 Machine Learning 笔记

原博客：http://nanshu.wang/post/2015-05-17/?utm_source=tuicool&utm_medium=referral

原文：https://share.coursera.org/wiki/index.php/ML:Advice_for_Applying_Machine_Learning

面对一个机器学习问题，我们提取好特征，挑选好训练集，选择一种机器学习算法，然后学习预测得到了第一步结果。然而我们不幸地发现，在测试集上的准确率低得离谱，误差高得吓人，要提高准确率、减少误差的话，下一步该做些什么呢？

可以采用以下的方法来减少预测的误差：

获得更多的训练样本
减少特征的数量
增加特征的数量
使用多项式特征
增大或减小正则化参数λ” role=”presentation” style=”position: relative;”>λ

但不要盲目在这些可行的方法里随便选一种来提升模型，需要用一些诊断模型的技术来帮助我们选择使用哪种策略。

1.评估假设

即使模型假设对于训练集的误差很低，若存在过拟合，模型的预测也同样会不准确。

给定一份训练集，我们可以将数据分成两部分：训练集和测试集。

使用训练集最小化J(Θ)” role=”presentation” style=”position: relative;”>J(Θ)参数
计算测试集的误差：

Jtest(&#x0398;)=12mtest&#x2211;i=1mtest(h&#x0398;(xtest(i))&#x2212;ytest(i))2” role=”presentation” style=”text-align: center; position: relative;”> J t e s t (Θ) = 1 2 m t e s t \sum i = 1 m t e s t (h Θ (x (i) t e s t) ? y (i) t e s t) 2

3.计算分类错误率（即0/1分类错误率）

err(h&#x0398;(x),y)=1if&#xA0;h&#x0398;(x)&#x2265;0.5&#xA0;and&#xA0;y=0&#xA0;or&#xA0;h&#x0398;(x)&lt;0.5&#xA0;and&#xA0;y=10otherwise” role=”presentation” style=”text-align: center; position: relative;”> e r r (h Θ (x), y) = 10 if h Θ (x) \geq 0.5 a n d y = 0 o r h Θ (x) < 0.5 a n d y = 1 o t h e r w i s e

err(h_\Theta(x),y) = \begin{matrix} 1 & \mbox{if } h_\Theta(x) \geq 0.5\ and\ y = 0\ or\ h_\Theta(x) < 0.5\ and\ y = 1\newline 0 & \mbox otherwise

测试集的平均误差为：

Test Error=1mtest&#x2211;i=1mtesterr(h&#x0398;(xtest(i)),ytest(i))” role=”presentation” style=”text-align: center; position: relative;”> Test Error = 1 m t e s t \sum i = 1 m t e s t e r r (h Θ (x (i) t e s t), y (i) t e s t)

\large

也就是测试集上分类错误的样本的比例。

2.模型选择与训练/验证/测试集

学习算法若仅仅对训练集拟合较好，并不能说明其假设也是好的。
训练集上的假设误差通常要比其他数据集上得到的误差要小。

为了在假设上选择模型，可以测试模型的多项式的次数来观察误差结果。

无验证集

对不同的多项式次数的模型通过训练集得到最优化参数Θ” role=”presentation” style=”position: relative;”>Θ。
找到在预测集上误差最小的模型的多项式次数d” role=”presentation” style=”position: relative;”>d。
使用测试集估计泛化误差Jtest(Θ(d))” role=”presentation” style=”position: relative;”>Jtest(Θ(d))。

在这个例子中，我们用测试集训练得到的一个变量，即多项式次数d” role=”presentation” style=”position: relative;”>d，但这样做会使其他数据集的误差更大。

为了解决这个问题，我们引入了第三种数据集，即交叉验证集(Cross Validation Set)，来作为选择d” role=”presentation” style=”position: relative;”>d的中间数据集。这样，测试集会给出一个准确，非乐观估计的误差结果。

例如，将数据集分成三份：

训练集：60%
交叉验证集：20%
测试集：20%

对于这三个数据集我们可以计算三个不同误差值：

有验证集

对不同的多项式次数的模型通过训练集得到最优化参数Θ” role=”presentation” style=”position: relative;”>Θ。
找到在验证集上误差最小的模型的多项式次数d” role=”presentation” style=”position: relative;”>d。
使用测试集估计泛化误差Jtest(Θ(d))” role=”presentation” style=”position: relative;”>Jtest(Θ(d))。

使用验证集则避免了使用测试集来确定多项式次数d” role=”presentation” style=”position: relative;”>d。

3.诊断偏差 vs. 方差

我们来讨论一下多项式次数d” role=”presentation” style=”position: relative;”>d和过拟合以及欠拟合之间的关系。

我们需要区分导致预测结果差的原因是偏差还是方差。
高偏差也就是欠拟合，高方差也就是过拟合。我们需要在这两者之间找到一个黄金分割。

随着多项式次数d” role=”presentation” style=”position: relative;”>d的增加，训练集的误差会减少。

同时，交叉验证集的误差会随着d” role=”presentation” style=”position: relative;”>d的增加而增加，形成一个凸曲线

高偏差（欠拟合）：Jtrain(Θ)” role=”presentation” style=”position: relative;”>Jtrain(Θ)。
高方差（过拟合）：Jtrain(Θ)” role=”presentation” style=”position: relative;”>Jtrain(Θ)高得多。

可以用下图来表示：

4.正则化和偏差/方差

下面来分析正则化参数λ” role=”presentation” style=”position: relative;”>λ。

λ” role=”presentation” style=”position: relative;”>λ较大：高偏差（欠拟合）
λ” role=”presentation” style=”position: relative;”>λ不大不小：正好
λ” role=”presentation” style=”position: relative;”>λ较小：高方差（过拟合）

较大的λ” role=”presentation” style=”position: relative;”>λ参数，即简单化结果函数的曲线，造成欠拟合。

λ” role=”presentation” style=”position: relative;”>λ和训练集以及验证集的关系如下：

λ” role=”presentation” style=”position: relative;”>λ较高（高方差/过拟合）。
λ” role=”presentation” style=”position: relative;”>λ。
λ” role=”presentation” style=”position: relative;”>λ都较高（高偏差/欠拟合）。

下图说明了λ” role=”presentation” style=”position: relative;”>λ值和假设之间的关系：

为了选择模型和正则化参数lambda” role=”presentation” style=”position: relative;”>lambda，我们需要：

列出λ” role=”presentation” style=”position: relative;”>λ；
选择一个λ” role=”presentation” style=”position: relative;”>λ的值进行计算；
创建模型集，比如按照多项式次数或其他指标来创建；
选择一个模型来学习Θ” role=”presentation” style=”position: relative;”>Θ值；
用所选的模型学习得到Θ” role=”presentation” style=”position: relative;”>Θ）；
使用学习（带λ” role=”presentation” style=”position: relative;”>λ；
使用学习（带λ” role=”presentation” style=”position: relative;”>λ；
对模型集合所有λ” role=”presentation” style=”position: relative;”>λ取值重复上述步骤，选择使交叉验证集误差最小的组合；
如果需要使用图形化结果来帮助决策的话，可以绘制λ” role=”presentation” style=”position: relative;”>λ的图像；
使用最好的Θ” role=”presentation” style=”position: relative;”>Θ的值来验证模型对问题是否有好的泛化能力。
为了帮助选择最好的多项式次数和λ” role=”presentation” style=”position: relative;”>λ的值，可以采用学习曲线来诊断。

5.学习曲线

训练3个样本很容易得到0误差，因为我们永远可以找到一条二次曲线完全经过3个点。

当训练集越来越大时，二次函数的误差也会增加。
误差值会在训练集大小m增加到一定程度后慢慢平缓。

高偏差的情况

小训练集：Jtrain(Θ)” role=”presentation” style=”position: relative;”>Jtrain(Θ)较低，$J_{CV}(\Theta)较高。
大训练集：Jtrain(Θ)” role=”presentation” style=”position: relative;”>Jtrain(Θ)J_{train}(\Theta) \approx J_{CV}(\Theta)$。

如果学习算法有高偏差的问题，那么获取更多的训练数据并不会有很多改进。

对于高方差的问题，对于训练集大小有如下关系：

高方差的情况

小训练集：Jtrain(Θ)” role=”presentation” style=”position: relative;”>Jtrain(Θ)较低，$J_{CV}(\Theta)较高。
大训练集：Jtrain(Θ)” role=”presentation” style=”position: relative;”>Jtrain(Θ)J_{train}(\Theta) < J_{CV}(\Theta)$。

如果学习算法有高方差的问题，那么获取更多的训练数据是有用的。

下图展示了训练集大小和高偏差/高方差问题之间的关系。

6.再次考虑如何选择提升模型的下一步

决策过程可以分解成以下几点：

获得更多的训练样本
- 解决高方差
减少特征的数量
- 解决高方差
增加特征的数量
- 解决高偏差
使用多项式特征
- 解决高偏差
增加正则参数λ” role=”presentation” style=”position: relative;”>λ
- 解决高偏差
减少正则参数λ” role=”presentation” style=”position: relative;”>λ
- 解决高方差

7.诊断神经网络

参数较少的神经网络很容易欠拟合，但同时计算也较容易。
参数较多的大型神经网络更容易过拟合，但同时计算量较大。在这种情况下可以使用正则化（增加λ” role=”presentation” style=”position: relative;”>λ）来避免过拟合问题。

使用单个隐藏层是一个较好地开始默认设置。你可以使用验证集在多个隐藏层上训练神经网络。

8.模型选择总结

以下是机器学习诊断的一些总结

选择多项式次数M
如何选择模型中得参数Θ” role=”presentation” style=”position: relative;”>Θ（即模型选择）

有3种方式解决：

获取更多数据（非常困难）
选择拟合数据最好且没有过拟合的模型（非常困难）
通过正则化来减少过拟合的机会

偏差：近似误差（预测值和期望值之间的差值）

高偏差 = 欠拟合（BU）
Jtrain(Θ)” role=”presentation” style=”position: relative;”>Jtrain(Θ)J_{train}(\Theta) \approx J_{CV}(\Theta)$

方差：有限数据集之间的估计误差值

高方差 = 过拟合（VO）
Jtrain(Θ)” role=”presentation” style=”position: relative;”>Jtrain(Θ)

偏差-方差权衡的直觉

复杂模型=>数据敏感=>受训练集X变化的影响=>高方差，低偏差
简单模型=>更死板=>不受训练集X变化的影响=>低方差，高偏差

机器学习的最重要的目标之一：找到一个模型在偏差-方差的权衡之间刚刚好。

正则化影响

λ” role=”presentation” style=”position: relative;”>λ值较小（过拟合）使模型容易受噪声影响，导致高方差。
λ” role=”presentation” style=”position: relative;”>λ值较大（欠拟合）会将参数值接近于0，导致高偏差。

模型复杂度影响

多项式次数较低的模型（模型复杂度低）有高偏差和低方差。在这种情况下，模型拟合总是很差。
多项式次数较高的模型（模型复杂度高）拟合训练集极好，拟合测试集极差。导致训练集上低偏差，但高方差。
在现实中，我们想要选择一个模型在以上两种情况之间，既然可以很好地拟合数据，也有很好地泛化能力。

使用诊断时的一些典型经验法则

获取更多地训练样本可以解决高方差问题，不能解决高偏差问题。
减少特征数量可以解决高方差问题，不能解决高偏差问题。
增加特征数量可以解决高偏差问题，不能解决高方差问题。
增加多项式特征和交互特征（特征和特征交互）解决高偏差问题，不能解决高方差问题。
当使用梯度下降时，减少正则化参数λ” role=”presentation” style=”position: relative;”>λ值可以解决高偏差问题。
当使用神经网络时，小型神经网络更容易欠拟合，大型神经网络更容易过拟合。交叉验证是选择神经网络大小的一种方式。

参考：

https://class.coursera.org/ml/lecture/index
http://www.cedar.buffalo.edu/~srihari/CSE555/Chap9.Part2.pdf
http://blog.stephenpurpura.com/post/13052575854/managing-bias-variance-tradeoff-in-machine-learning
http://www.cedar.buffalo.edu/~srihari/CSE574/Chap3/Bias-Variance.pdf

    </article>

高偏差/低偏差，学习曲线，模型选择