【模拟退火】模拟退火算法简介

1. 直观解释

1.1 旅行问题

要理解模拟退火（Simulated Annealing，SA），不妨设身处地思考一种情景，一位导游带着游客旅游，在A点接一群人，再去目的地B到G。去每个地方一次，需要在旅行结束时回到A点。他们的观光日程也很紧，希望你尽量缩短他们的旅行距离，以减少旅行时间。点与点之间的唯一方式是走连接的道路，在图中用线表示。应该如何优化旅行？对于较少的点来说，这似乎是一个简单的问题，但是随着添加更多的目的地和道路，复杂性迅速飙升。图2是一个完美的例子——试错法，即尝试每一条可能的路径，这可能需要花费数年的时间。选择的数量如此之多，以至于不可能在纸上解决——甚至用计算机算法来比较每一个可能的解决方案也是如此。这就是模拟退火发挥作用的地方。

模拟退火是一种用于求解全局最小值或最大值的技术，而不必检查每一个可能的解。这在解决类似前面提到的大规模优化问题时非常有用。在我们开始解释它是如何工作的之前，让我们看看这个想法是从哪里来的。

1.2 算法起源

模拟退火其实起源于冶金。在冶金中，退火是指将金属加热到高温，然后在受控环境中缓慢冷却的过程。高温使金属中的原子可以自由地四处运动。如果金属被快速冷却，当金属变热时，原子会突然静止，导致随机排列和质量差的结果。但是当金属慢慢冷却时，原子有时间逐渐找到可能的最佳方向，并排列成一个漂亮的晶格，这优于快速冷却，它使金属更具延展性，减少缺陷，并使其显著更强。一般来说，退火逐渐减少能量和运动，使物质的成分稳定在最稳定、最简单的顺序。

这个类比的另一个重要部分是热力学中的以下等式：

这个方程计算能量大小增加的概率。给定能量大小E，温度t，玻尔兹曼常数k，可以计算这个值。

鉴于此，重新考虑导游的示例，想象一下将地图上的位置随机连接成一条潜在的“最佳路线”。路线是由一系列漫无目的的匆忙连接而成的，很可能根本不是一条好路线。这类似于“快速冷却”——锁定了一些随机的选择，就像原子在金属中可能被阻止在它们的随机位置一样——这导致了一个糟糕的解决方案。然而，如果慢慢地“冷却”路线，并不断地决定用更长的道路来替换捷径，可能会逐渐减少旅行时间并找到最短的可能路径。

1.3 算法概述

谨慎的路线选择本质上是模拟退火算法的工作原理。以导游为例，首先要随机绘制出到达每个目的地的有限路径，并用总旅行时间来量化每一条路径。对于这些独一无二的路径，可以尝试类似的变化，并再次检查旅行时间。如果旅行时间减少了，就朝着正确的方向迈出了一步，更新路径！如果旅行时间增加了，怎么办？这很可能是这样一种情况，即在较长的旅行时间路径上的变化将比在现有路径上的变化更好。考虑到这一点，最初决定非常频繁地接受旅行时间较长的路线。随着尝试越来越多的路径，决定越来越不宽容那些增加旅行时间的路径。这就像金属退火中的缓慢冷却——当降低象征性的“温度”时，会变得更挑剔，并逐渐减少解决方案中的混乱情况。最终，经过一定次数的尝试后，“温度”达到了预定的最小值就不再画新的路径了。采样结束时旅行时间最短的路径就是最优路线。问题解决了！

这种重复的采样和比较工作对计算机来说是完美的。使用计算机可以让采样更多，比较更快，这增加了找到更好路线的可能性。模拟退火也不只是对旅行问题有用！它可以应用于几乎任何领域的问题，包括我们在Macromoltek所做的生物技术工作。模拟退火通常用于预测蛋白质将如何折叠（在一定的误差范围内）。有许多变量需要考虑，但是通过足够的采样和正确的参数调整，我们可以从这项技术中开发一个框架，来优化深度学习算法。

2. 算法原理

2.1 算法背景

模拟退火模拟物理退火过程，但用于优化模型中的参数。这个过程对于有很多局部极小值的情况非常有用，比如梯度下降算法。

在类似上述的问题中，如果梯度下降从指定的起点开始，它将停留在局部最小值，并且不能达到全局最小值。

2.2 计算过程

• 第一步：初始解 $s=S_0$，这可以是符合可接受解标准的任何解。初始温度 $t=t_0$。
• 第二步：设置降温函数 $\alpha$。有3种主要的降温规则：
  
  每个还原规则以不同的速率降低温度，每个方法在优化不同类型的模型方面都更好。对于第三个规则，$\beta$ 是一个任意常数。
• 第三步：从初始温度开始，循环迭代第四步 $n$ 次，然后根据 $\alpha$ 降低温度，达到终止条件时停止该循环。终止条件可以是达到某个终止温度，达到某个给定参数集的可接受的性能阈值，等等。时间到温度的映射以及温度下降的速度称为退火时间表（Annealing Schedule）。
• 第四步：给定 $N(s)$ 个解的邻域，选择其中一个解，计算旧解和新邻域解之间的成本差异（difference in cost）。解的邻域是所有与解接近的解。例如，如果要更改五个参数中的一个，但保持其余四个不变，那么一组五个参数的邻域可能是。
• 第五步：如果新旧方案成本差异大于0（新方案更好），则接受新方案。如果成本差异小于0（旧的解决方案更好），则生成一个0和1之间的随机数，如果它低于从以前的能量大小方程计算的值，则接受它。

在“模拟退火”情况下，方程式已更改为以下形式：

其中增量 $\Delta c$ 是成本的变化，$t$ 是当前温度。$P$ 是应该接受新解的概率。

2.3 高温与低温

由于概率的计算方式，温度越高，算法接受更差解的可能性越大。这促进了搜索空间的探索（Exploration），并允许算法更有可能沿着次优路径行进，以找到潜在地全局最大值。

当温度较低时，算法不太可能或不会接受更差的解决方案，这促进了探索（Exploration）。这意味着一旦算法在正确的搜索空间中，就不需要搜索搜索空间（search space）的其他部分，而是应该尝试收敛并找到全局最大值。

3. 算法应用

• Travelling Salesman Problem (TSP)
• Scheduling Problems
• Task Allocations
• Graph colouring and partitioning
• Non-linear function optimizations

4. 优缺点

4.1 优点

• Easy to implement and use
• Provides optimal solutions to a wide range of problems

4.2 缺点

• Can take a long time to run if the annealing schedule is very long
• There are a lot of tuneable parameters in this algorithm

5. 代码实现

""" Simulated Annealing Class """
import random
import mathclass SimulatedAnnealing:def __init__(self, initialSolution, solutionEvaluator, initialTemp, finalTemp, tempReduction, neighborOperator, iterationPerTemp=100, alpha=10, beta=5):self.solution = initialSolutionself.evaluate = solutionEvaluatorself.currTemp = initialTempself.finalTemp = finalTempself.iterationPerTemp = iterationPerTempself.alpha = alphaself.beta = betaself.neighborOperator = neighborOperatorif tempReduction == "linear":self.decrementRule = self.linearTempReductionelif tempReduction == "geometric":self.decrementRule = self.geometricTempReductionelif tempReduction == "slowDecrease":self.decrementRule = self.slowDecreaseTempReductionelse:self.decrementRule = tempReductiondef linearTempReduction(self):self.currTemp -= self.alphadef geometricTempReduction(self):self.currTemp *= (1/self.alpha)def slowDecreaseTempReduction(self):self.currTemp = self.currTemp / (1 + self.beta * self.currTemp)def isTerminationCriteriaMet(self):# can add more termination criteriareturn self.currTemp <= self.finalTemp or self.neighborOperator(self.solution) == 0def run(self):while not self.isTerminationCriteriaMet():# iterate that number of timesfor i in range(self.iterationPerTemp):# get all of the neighborsneighbors = self.neighborOperator(self.solution)# pick a random neighbornewSolution = random.choice(neighbors)# get the cost between the two solutionscost = self.evaluate(self.solution) - self.evaluate(newSolution)# if the new solution is better, accept itif cost >= 0:self.solution = newSolution# if the new solution is not better, accept it with a probability of e^(-cost/temp)else:if random.uniform(0, 1) < math.exp(-cost / self.currTemp):self.solution = newSolution# decrement the temperatureself.decrementRule()

参考：
Machine Learning and Simulated Annealing
Optimization Techniques — Simulated Annealing