[SLAM]粒子滤波中部分推导(Monte Carlo in Particle Filter(PF))

基本推导

$\overline{bel}(x)=\int p(x_t|u_t,x_{t?1})bel(x_{t?1})dx$

$\because bel(x_{t?1})=p(x_{t?1}|u_{t?1},z_{t?1})$

$\therefore bel(x_{t?1})\ge 0,且\int bel(x_{t?1})dx=1$

此时可以使用Monte Carlo抽样拟合$\overline{bel}(x)$中的积分，即：

对$p(x_t|u_t,x_{t?1})$多次采样后求取平均值，即可近似得到积分值

Monte Carlo积分拟合表达

如果有积分$I={\int }_{D}G(x)dx$，其中$G(x)$可分解为$G(x)=g(x)?p(x)$，

其中$p(x)$满足：$p(x)\ge 0,且\int p(x)dx=1$

则可证明

$p(\underset{N\to +\infty }{\lim }\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^{N}g(x_i)=I)=1$

即$\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^{N}g(x_i)$依概率趋近于$I$，即当$N$很大时，可以使用下式拟合积分$I$

$I\approx \frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^{N}g(x_i)$