《数理统计》课本上对二项分布、泊松分布以及正态分布的特征函数的推导过程没有详细描述，我在利用现有公式对上述三种分布推导一遍，并对相关性质知识进行回顾，以此记录。
特征函数
特征函数是实变量的复值函数，它在一切实数都有定义，在不引起混淆的情况下，将简记为。
若是离散型随机变量，其概率分布列为，则它的特征函数为
若是连续型随机变量，其概率密度为，则它的特征函数为
二项分布特征函数推导
二项分布：离散型概率分布，，
期望：
方差：
特征方程的推导：
泊松分布特征函数推导
泊松分布：离散型概率分布，
期望：
方差：
特征方程的推导：
正态分布特征函数推导
正态分布：连续型概率分布，，
期望：
方差：
特征方程的推导：
方法一：
由于，，
由于，所以，
方法二：
同理由于，所以，
由于，
以上就是全部推导过程！
其他函数就不一一展示了，公式在最上方，通过计算可以得到每一种分布的特征函数！