Fundations of Machine Learning 2nd——第三章（二）growth fuction和 VC-Dimension

前言

我们上篇文章讲了对于映射集$H$无限的情况，可以使用拉德马赫复杂度来表示其generalization error边界，然而拉德马赫复杂度的计算十分困难，因此本节引入VC维的概念来使得这个边界可以在现实中被计算出来，在介绍VC维之前我们先介绍growth function这个先验知识（VC维的generalization bound需要以growth function作为中间媒介）。

Growth function

growth function中文名翻译成生长函数…我总感觉像生物用语。。所以还是叫英文名字吧。。
先来看看他的定义：
对于映射集$H$的growth function： ${\Pi }_H(m):N\to N$，定义如下：
?m∈N,ΠH(m)=max?{x1,...xm}?X∣{h(x1),...,h(xm):h∈H}∣\forall m\in N, \Pi_H(m) = \max\limits_{\{x_1,...x_m\}\subset X}|\{h(x_1),...,h(x_m):h\in H\}|?m∈N,ΠH?(m)={ x1?,...xm?}?Xmax?∣{ h(x1?),...,h(xm?):h∈H}∣

解释：我们先引入一个概念：$dichotomy$。它的定义如下：对于一个映射$h\in H$,将$h$作用在样本集{x1,...,xm}\{x_1,...,x_m\}{ x1?,...,xm?}上会产生一个分类结果（我们假设是二分类），这个结果可能是{0,1,...,1}\{0,1,...,1\}{ 0,1,...,1}。我们把这样的一种分类结果称为$dichotomy$。那么，对于一个样本集来说，将$H$里所有的映射都作用在上面时，最多有$2^m$种结果，因为也许有的结果在当前的问题里肯定不会出现（后面我们会举例子），所以$dichotomy$的个数也有可能小于$2^m$。那么$H$的growth function要找的就是能产生$dichotomy$数量最多的一个大小为$m$样本集，他的$dichotomy$数量即为${\Pi }_H(m)$

所以，growth function给我们提供了另一种计算映射集$H$的丰富度的方法。

那么如何用growth function替代拉德马赫复杂度在约束边界上的位置呢？
需要用到一个马萨特引理（Massart’s Lemma）:

引理1 Massart’s Lemma

定义：令$A?R^m$是一个有限集，设$r=ma{x}_{x\in A}\Vert x{\Vert }_2$，下式成立：
$$\underset{\sigma }{E}[\frac{1}{m}\underset{x\in A}{\sup }\sum _{i=1}^m{\sigma }_i{x}_i]\le \frac{r\sqrt{2\log |A|}}{m}$$
${\sigma }_i$是独立同分布的随机变量，取值为{1,?1}\{1,-1\}{ 1,?1}，$x_i$是向量$x$的第i项。

证明：

需要介绍一个最大不等式定理和推论：
最大不等式定理：
令$X_1,...,X_n$是$n\ge 1$的实值随机变量，对于所有的$j\in [n]$和$t>0$,如果对于一些$r>0$满足：$E[e^{t{X}_j}]\le e^{t^2{r}^2/2}$，那么下列不等式成立：
$$E[\underset{j\in [n]}{\max }{X}_j]\le r\sqrt{2\log n}$$
证明：
对于任意的$t>0$，通过指数函数的凹性和杰森不等式，下式成立：
$$e^{tE[ma{x}_{j\in [n]}{X}_j]}\le E[e^{t{\max }_{j\in [n]}{X}_j}]=E[\underset{j\in [n]}{\max }{e}^{t{X}_j}]\le E[\sum _{j\in [n]}{e}^{t{X}_j}]\le n{e}^{\frac{t^2{r}^2}{2}}$$
第一步转换利用了指数函数的凹性+杰森不等式

补充杰森不等式：
若$f(x)$是区间[a,b]上的下凹函数，对于人意的$x_1,x_2...x_n\in [a,b]$，有不等式：
$$\frac{{\sum }_{i=1}^{n}f(x_i)}{n}\ge f(\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i}{n})$$
其加权形式为：
在原条件上，且$a_1+a2+...+a_n=1$，且$a_i$都为正数，有：
$f({\sum }_{i=1}^n{a}_i{x}_i)\le {\sum }_{i=1}^n{a}_{i}f(x_i)$

最大不等式推论：
令$X_1,..,X_n$是$n\ge 1$的实值随机变量，对于所有的$j\in [n]$，$X_j={\sum }_{i=1}^m{Y}_{ij}$，对于每一个固定的$j\in [n]$，$Y_{ij}$都是独立的零均值变量，取值在$[?r_i,r_i]$，对一些$r_i>0$,下列不等式成立：
$$E[\underset{j\in [n]}{\max }{X}_j]\le r\sqrt{2\log n}$$
其中$r=\sqrt{{\sum }_{i=1}^m{r}_i^2}$

证明：
由于$$E[e^{t{X}_j}]=E[\underset{i=1}{\overset{m}{\Pi }}{e}^{t{Y}_{ij}}]=\underset{i=1}{\overset{m}{\Pi }}E[e^{t{Y}_{ij}}]\le \underset{i=1}{\overset{m}{\Pi }}{e}^{\frac{t^2{r}_j^2}{2}}=e^{\frac{t^2{r}^2}{2}}$$
倒第二个转换用了霍夫丁引理：

令$X$表示$E[X]=0$的随机变量，且$a\le X\ge b,b>a$，对于任意的$t>0$，都有：
$$E[e^{tX}]\le e^{\frac{t^2(b?a{)}^2}{8}}$$

所以能够利用最大不等式来得到该引理。

终于把最大不等式给说完了！现在目光切回到Massart’s Lemma！
如果把Massart’s Lemma中的${\sigma }_i{x}_i$看做一个新的变量$y_i$的话，很容易发现$y_i$取值在$[?x_i,x_i]$中，且$\sqrt{{\sum }_{i=1}^m{x}_i^2}\le r$（注意，这里的r是Massart’s Lemma里定义的）。
把${\sum }_{i=1}^m{y}_i$看做新变量X，那么$\underset{x\in A}{\sup }{\sum }_{i=1}^m{\sigma }_i{x}_i=\underset{x\in A}{\max }{\sum }_{i=1}^m{y}_i=\underset{j\in [n]}{\max }{X}_j$
根据最大不等式推论就能得到马萨特引理。
$$\underset{\sigma }{E}[\frac{1}{m}\underset{x\in A}{\sup }\sum _{i=1}^m{\sigma }_i{x}_i]\le \frac{r\sqrt{2\log |A|}}{m}$$

OK 现在证明了马萨特引理了！该想想怎么用growth function替换拉德马赫复杂度了！

推论1

令$G$表示一个函数族，输出取值为{?1,1}\{-1,1\}{ ?1,1},下式成立：
$$R_m(G)\le \sqrt{\frac{2\log {\Pi }_G(m)}{m}}$$

证明：
对于一个固定的样本集S={x1,..xm}S=\{x_1,..x_m\}S={ x1?,..xm?}，定义$G_{|S}$为函数结果向量集，对于$g\in G$:其结果向量为{g(x1),..,g(xm)}T\{g(x_1),..,g(x_m)\}^T{ g(x1?),..,g(xm?)}T。因为输出在{?1,1}\{-1,1\}{ ?1,1}，所以结果向量的模最大为$\sqrt{m}$。接下来就要用到Massart’s Lemma！！：
$$R_m(G)=\underset{S}{E}[\underset{\sigma }{E}[\underset{u\in G_{|S}}{\sup }\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{\sigma }_i{u}_i]]\le \underset{S}{E}[\frac{\sqrt{m}\sqrt{2\log |G_{|S}|}}{m}]$$
由于$|G_{|S}|\le {\Pi }_G(m)$:
$$R_m(G)\le \underset{S}{E}[\frac{\sqrt{m}\sqrt{2\log |G_{|S}|}}{m}]=\sqrt{\frac{2\log {\Pi }_G(m)}{m}}$$

注意 这个不等式里就用growth function来表示了拉德马赫复杂度的上界。下一步终于到了这一小节的第一个高潮——把约束边界里的拉德马赫复杂度换成growth function！

推理2 growth function的generalization bound

令$H$表示一个函数族，输出值为{?1,1}\{-1,1\}{ ?1,1}。对于任意的$\delta >0$，我们都有$1?\delta$的把握对于任意的$h\in H$，下式成立：
$$R(h)\le {\hat{R}}_S(h)+\sqrt{\frac{2\log {\Pi }_H(m)}{m}}+\sqrt{\frac{\log \frac{1}{\delta }}{2m}}$$

不过我们的growth function只能算是一个中转站，因为计算growth function需要对所有的$m\ge 1$的样本集计算，下面介绍的VC维也是一种计算映射集$H$复杂度的方法，不过更简单实用。

VC-dimension

VC-dimension（Vapnik-Chervonenkis dimension）。
介绍VC维之前先介绍一个概念：“shattering”
shattering表示：如果一个映射集$H$，对一个样本集$S$（$m\ge 1$），能够产生该样本集的所有可能的dichotomies，即${\Pi }_H(m)=2^m$，就称$H$ shattering $S$。

定义1 VC-dimension

一个映射集$H$的VC-dimension是$H$可以shattering的最大到的样本集的大小。
$$VCdim(H)=maxm:{\Pi }_H(m)=2^m$$
所以，如果$VCdim(H)=d$，说明存在一个大小为$d$的样本集，能够被$H$shatter，但是不代表所有大小为$d$的样本集都能被$H$shatter。

下面举几个例子来更深入的理解VC-dimension的含义。

Example 1 实线上的区间

这个问题里的映射集就是实线上的各个区间。很明显他的VC-dimension至少是2。因为对于两个样本，他们的所有可能的dichotomy为$(+,+),(+,?),(?,+),(?,?)$，都可以被产生。下图是可视化表示：

然鹅，没有一个大小为3的样本集能够被$H$shatter。（大家自己画画图就知道了~）

Example 2 超平面

首先考虑二维空间的超平面（其实就是一条直线），那么，任何三个非线性的点都可以被shatter。
前方高能——
上面这个图就是三个点时可能的分类结果，虽然只画了四条线，不过每一条线分割出来的两部分都可以交换他们的正负性，因此3个点有8个dichotomy，所以可以被shatter。
而四个点的时候呢？
当他们的正负性为上图所示的时候，就没有直线可以实现。因此不能被shattered。

更一般的，在$R^d$中，我们考虑一个大小为$d+1$的样本集。令$x_0=(0,0...,0)$是原点。对于i∈{1,...,d}i\in\{1,...,d\}i∈{ 1,...,d}，$x_i$的第$i$个位置为1，其余为0。他们的标签y0,y1,y2,..,yd∈{?1,1}y_0,y_1,y_2,..,y_d\in\{-1,1\}y0?,y1?,y2?,..,yd?∈{ ?1,1}，同时定义一个向量$w$,他的第$i$项是$y_i$。于是，超平面定义为：$w?x+\frac{y_0}{2}=0$，能够shatter所有的$d+1$个样本。
$$sgn(w?x+\frac{y_0}{2})=sgn(y_i+\frac{y_0}{2})=y_i$$

注意，这个公式对于$size>d+1$的样本集不适用，因为$x$的维数为$d$

也就是说对于样本在$R^d$的空间中，超平面分类至少能够shatter 大小为$d+1$的样本。下面我们来考虑$size>d+1$的情况，要先用到一个定理：

定理1 Radon’s Theorem

任何一个有$d+2$个在$R^d$的点的样本集$X$，都可以被分成两个子集$X_1,X_2$，且这两个子集凸包相交。

证明：
令X={x1,...xd+2}?RdX=\{x_1,...x_{d+2}\}\subset R^dX={ x1?,...xd+2?}?Rd，下面的等式组成了一个d+1个线性方程组。
$$\begin{gathered} \sum _{i=1}^{d+2}{\alpha }_i{x}_i=0\sum _{i=1}^{d+2}{\alpha }_i=0 \\ ==> \\ {\alpha }_1{x}_{1,1}+{\alpha }_2{x}_{21}+...{\alpha }_{d+2}{x}_{d+2,1}=0 \\ ... \\ {\alpha }_1{x}_{1,i}+{\alpha }_2{x}_{2i}+...{\alpha }_{d+2}{x}_{d+2,i}=0 \\ ... \\ {\alpha }_1+...+{\alpha }_{d+2}=0 \end{gathered}$$
未知数（${\alpha }_i$）有$d+2$个，方程有$d+1$个，因此必有非零解${\beta }_1,...{\beta }_{d+2}$。
又因为${\beta }_1+...+{\beta }_{d+2}=0$，因此J1={i∈[d+2]:βi>0},J2={i∈[d+2]:βi≤0}J_1=\{i\in[d+2]:\beta_i>0\},J_2=\{i\in[d+2]:\beta_i\leq0\}J1?={ i∈[d+2]:βi?>0},J2?={ i∈[d+2]:βi?≤0}都是非空集合。我们可以把样本集划分为X1={xi,i∈J1}X2={xi,i∈J2}X_1=\{x_i,i\in J_1\}\quad X_2=\{x_i,i\in J_2\}X1?={ xi?,i∈J1?}X2?={ xi?,i∈J2?}。因为$\sum _{i\in J_1}{\beta }_i=?\sum _{i\in J_2}{\beta }_i$，设$\beta =\sum _{i\in J_1}{\beta }_i$，根据上面的两个公式可得：
$$\sum _{i\in J_1}\frac{{\beta }_i}{\beta }{x}_i=\sum _{i\in J_2}?\frac{{\beta }_i}{\beta }{x}_i$$
因为$\sum _{i\in J_1}\frac{{\beta }_i}{\beta }=\sum _{i\in J_2}?\frac{{\beta }_i}{\beta }=1$，且$i\in J_1时\frac{{\beta }_i}{\beta }>0$，$i\in J_2时?\frac{{\beta }_i}{\beta }>0$，所以${\sum }_{i\in J_1}\frac{{\beta }_i}{\beta }{x}_i$同时属于$X_1,X_2$的凸包。
所以不存在超平面能够区分$X_1$和$X_2$。而任意大小为$d+2$的，样本点在$R^d$的样本集，都可以分出来一组这样的两个子集（凸包相交），所超平面$H$不能shatter大小为$d+2$的样本集。所以VCdim(hyperplane in R^d)=$d+1$

Example 3 平行坐标轴的矩形

四个样本点的很容易被证明可以被shatter。下图(a)展示了部分情况，其余的自己画画就能找出来~下图(b)说明了五个样本点的时候肯定不能被shatter。

还有很多，就不一一列举了~

定理2 Sauer’s Lemma

令$H$表示一个$VCdim(H)=d$的映射集。对于所有的$m\in N$，下列不等式成立：
$${\Pi }_H(m)\le \sum _{i=0}^d{C}_m^d$$

证明：
首先说明，这个推理用了归纳演绎的方法。显然，$m=1$时，$d=0或者d=1$都是符合定理的。假设对于$(m?1,d?1)和(m?1,d)$都成立。
固定一个样本集S={x1,..,xm}S=\{x_1,..,x_m\}S={ x1?,..,xm?}，有${\Pi }_H(m)$个dichotomy，令$G=H_{|S}$表示被$S$约束的一个映射集合。
考虑S′={x1,...xm?1}S^{'}=\{x_1,...x_{m-1}\}S′={ x1?,...xm?1?}，定义$G_1=G_{|S^{{}^{\prime }}}$表示被$S^{{}^{\prime }}$约束的一个映射集合。如果我们把每一个映射当成是一个非零点集（第$i$个点表示x_i为0/1），可以定义$G_2$如下：
G2={g′?S′:(g′∈G)∧(g′∪{xm}∈G)}G_2=\{g^{'}\subset S^{'}:(g^{'}\in G)\land (g^{'}\cup\{x_m\}\in G)\}G2?={ g′?S′:(g′∈G)∧(g′∪{ xm?}∈G)}
$G_1,G_2$的可视化如下：

（这个$G_1,G_2$解释的太抽象了，这图咱也没咋看懂，我个人理解是：$G_1$表示的就是不考虑$x_m$的所有dichotomy，$G_2$表示的是对于$S$来说的所有dichotomy里，$x_m=0、x_m=1$两种情况都有的前$m?1$个样本对应的dichotomy。。比如上图里第一行和第二行，除了$x_m$取值不同，其余的取值都相同，$G_1$表示的dichotomies里满足这种要求的dichotomies构成$G_2$）

所以$|G_1|+|G_2|=|G|$

由于$VCdim(G_1)\le VCdim(G)\le d$，根据我们前面的假设可以得到：
$$|G_1|\le {\Pi }_{G_1}(m?1)\le \sum _{i=0}^d{C}_{m?1}^i$$

根据$G_2$的定义，如果$Z?S^{{}^{\prime }}$可以被$G_2$shatter，那么$Z\cup x_m$一定可以被$G$shatter。所以：
$$VCdim(G_2)\le VCdim(G)?1\le d?1$$
所以
$$|G_2|\le {\Pi }_{G_2}(m?1)\le \sum _{i=0}^{d?1}{C}_{m?1}^i$$
所以
$$|G|=|G_1|+|G_2|\le \sum _{i=0}^d{C}_{m?1}^i+\sum _{i=0}^{d?1}{C}_{m=1}^i=\sum _{i=0}^d{C}_{m?1}^i+C_{m?1}^{i?1}=\sum _{i=0}^d{C}_m^i$$
（最后一步自己把$C_{m?1}^{i?1}+C_{m?1}^i$展开一下就能得到~）

至此，定理得证。

这个定理有啥用呢，看接下来的一个推论

推理1

令$H$表示一个映射集，$VCdim(H)=d$，对于所有的$m\ge d$：
$${\Pi }_H(m)\le (\frac{em}{d}{)}^d=O(m^d)$$

证明：（用到了上一个推理）
$${\Pi }_H(m)\le \sum _{i=0}^d{C}_m^i\le \sum _{i=0}^d{C}_m^i(\frac{m}{d}{)}^{d?i}\le \sum _{i=0}^m{C}_m^i(\frac{m}{d}{)}^{d?i}=(\frac{m}{d}{)}^d\sum _{i=0}^m{C}_m^i(\frac{d}{m}{)}^i=(\frac{m}{d}{)}^d(1+\frac{d}{m}{)}^m\le (\frac{m}{d}{)}^d{e}^d$$

本小节的第二个高潮要来了~在generalization bound中用VCdim替换growth function！！

推理2 VC-dimension generalization bounds

令$H$表示一个映射族，取值在{?1,1}\{-1,1\}{ ?1,1}，$VCdim=d$。对于任一$\delta >0$，都有$1?\delta$的把握，令下式对于所有的$h\in H$成立：
$$R(h)\le {\hat{R}}_S(h)+\sqrt{\frac{2d\log \frac{em}{d}}{m}}+\sqrt{\frac{\log \frac{1}{\delta }}{2m}}$$
注意，这里右边的第二项把growth function generalization bounds里面的$\log {\Pi }_G(m)$利用上面的推理1换成了 $d\log \frac{em}{d}$

一般化的写法就是：
$$R(h)\le {\hat{R}}_S(h)+O(\sqrt{\frac{\log (m/d)}{m/d}})$$
这个边界可以用在实际估计中了~（只需要知道$d$就行）