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AtCoder agc_034D - Manhattan Max Matching(最大费用最大流)

热度:7   发布时间:2024-02-20 06:59:29.0

AtCoder agc_034D - Manhattan Max Matching

题目大意

  • 平面上有NNN个位置上分别有若干红点,NNN个位置上分别有若干蓝点,保证红点蓝点总数相等。
  • 求一个红点和蓝点的匹配,使得每个点对的曼哈顿距离之和最大,输出最小的答案。
  • N≤1000N≤1000N1000

题解

  • 据说奇奇怪怪限制的题,一般会想到网络流,
  • 这题还有关点对之间的匹配,则更像是网络流。
  • 观察题目的限制,不同的匹配权值不同,考虑使用费用流,即最大费用最大流。
  • 由于曼哈顿距离的式子中有绝对值,先把绝对值拆开,会出现四种情况,分别是(xi?xj)+(yi?yj)(x_i-x_j)+(y_i-y_j)(xi??xj?)+(yi??yj?)(xi?xj)+(yj?yi)(x_i-x_j)+(y_j-y_i)(xi??xj?)+(yj??yi?)(xj?xi)+(yi?yj)(x_j-x_i)+(y_i-y_j)(xj??xi?)+(yi??yj?)(xj?xi)+(yj?yi)(x_j-x_i)+(y_j-y_i)(xj??xi?)+(yj??yi?),
    • 先从源点连向每个红点的位置(简称为红点),费用为000,容量为这个位置上的点数;每个蓝点连向汇点同理,
  • 接着上述四种情况对应另外新设的四个点,每个红点往这四个点连边,容量正无穷,费用为这个点的代表的式子中xix_ixi?xjx_jxj?分别对应的正负之和,这四个点再连向蓝点,边权同理。
  • 但是会发现,这样能保证流出的费用正好是曼哈顿距离吗?如果一对匹配不是恰好在大减小的位置流过,那不就错了吗?
  • 其实会发现,因为题目求的是最大费用,而加上绝对值一定是大于等于没有绝对值的,所以最终流过去的方案必然会是曼哈顿距离,且必为最优解。
  • 至于最大费用最大流,只需要把费用流SPFA中的最短路改成最长路即可。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define N 1010
#define ll long long
int last[N*2],cur[N*2],len=1;
ll dis[N*2];
int q[N*2],p[N*2];
ll ans=0;
struct
{
    int c,w,to,next;
}a[N*20];
int n,ns,m;
void add(int x,int y,int c,int w)
{
    a[++len].to=y;a[len].next=last[x];a[len].c=c,a[len].w=w;last[x]=len;
}
int id = 0;
int SPFA()
{
    for(int i=0;i<=ns;i++) dis[i]=-1e16;q[1]=0,p[0]=++id,dis[0]=0;int l=0,r=1;while(l!=r){
    l=l%(ns+10)+1;int k=q[l];p[k]=0;for(int i=last[k];i;i=a[i].next) {
    int x=a[i].to;if(dis[k]+a[i].w>dis[x]&&a[i].c){
    dis[x]=dis[k]+a[i].w;if(p[x] < id){
    p[x]=id;r=r%(ns+10)+1;q[r]=x;}}}}return dis[ns]>0;
}
int dfs(int k,int flow)
{
    if(k==ns) return flow;int have=0;p[k]=1;for(int i=cur[k];i;i=a[i].next){
    int x=a[i].to;if(!p[x]&&dis[k]+a[i].w==dis[x]&&a[i].c){
    cur[k] = i;int t=min(flow-have,a[i].c);int now=dfs(x,t);ans+=(ll)now*a[i].w;have+=now,a[i].c-=now,a[i^1].c+=now;if(have==flow) break;}}p[k]=0;return have;
}
int main()
{
    int i,x,y,c;scanf("%d",&n);for(i=1;i<=n;i++){
    scanf("%d%d%d",&x,&y,&c);add(i,2*n+1,c,x+y);add(2*n+1,i,0,-x-y);add(i,2*n+2,c,x-y);add(2*n+2,i,0,y-x);add(i,2*n+3,c,y-x);add(2*n+3,i,0,x-y);add(i,2*n+4,c,-x-y);add(2*n+4,i,0,x+y);add(0,i,c,0);add(i,0,0,0);}for(i=1;i<=n;i++){
    scanf("%d%d%d",&x,&y,&c);add(2*n+1,i+n,1e6,-x-y);add(i+n,2*n+1,0,x+y);add(2*n+2,i+n,1e6,y-x);add(i+n,2*n+2,0,x-y);add(2*n+3,i+n,1e6,x-y);add(i+n,2*n+3,0,y-x);add(2*n+4,i+n,1e6,x+y);add(i+n,2*n+4,0,-x-y);add(i+n,2*n+5,c,0);add(2*n+5,i+n,0,0);}ns=2*n+5;while(SPFA()){
    while(1) {
    for(i = 0; i <= ns; i++) cur[i] = last[i];int t = dfs(0,1e6);	if(!t) break;}}printf("%lld",ans);return 0;
}
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