【数理统计】估计的性质是否具有变换不变性

变换不变性

总结统计量的某个性质（比如无偏性）是否具有变换不变性（该性质在变换后保持不变），如果某一个统计量 $T(x)$是某个参数 $\theta$的无偏估计，将统计量经过 $h$变换之后为 $h(T(x))$，它是否也是变换后的参数 $h(\theta)$的无偏估计。

无偏性

估计的无偏性不具有变换的不变性。一般而言，若 $\hat \theta$是 $\theta$的无偏估计，其函数 $g(\hat \theta)$不一定是 $g(\theta)$的无偏估计，除非 $g(\theta)$是 $\theta$的线性函数。

【例子】正态分布总体下，样本方差为总体方差的无偏估计，但样本标准差不是总体标准差的无偏估计。

【总结】

• 若变换为线性变换，变换具有不变性
• 其他情况下一般不具有变化不变性

充分性

设 $T=T(x)$是参数 $\theta$的充分统计量， $s=\Psi(t)$是严格单调函数，则 $S = \Psi (T(x)) = \Psi(x)$也是参数 $\theta$的充分统计量。

证明：
$s=\Psi(t)$是严格单调函数
事件{ $S=s$}与{ $T=t$}等价
条件分布 $F_{\theta}(x|T=t) = F_{\theta}({x|S=s})$
则由 $T(x)$的充分性可得 $S(x)$的充分性

（使用定义来判断某个统计量是否为充分统计量，通常比较麻烦；使用因子分解定理来找充分统计量，比较方便）

【总结】

• 如果变换函数为严格单调函数，变换具有变换不变性

相合性

$\hat \theta_{n1},...,\hat \theta_{nk}$分别是 $\theta _1, ..., \theta_k$的相合估计，若 $g(\theta_1, ..., \theta_k)$是 $k$元连续函数，则 $\hat g(\hat \theta_{n1},...,\hat \theta_{nk})$是 $g=g(\theta_1, ..., \theta_k)$的相合估计。

【总结】

• 如果变换函数为连续函数，变换具有变换不变性

最大似然

【不变原理】设 $X服从p(x;\theta), \theta \in \Theta$，若 $\theta$的最大似然估计为 $\hat \theta$，则对于任意函数 $\gamma = g(\theta)$， $\gamma$的最大似然估计为 $\hat \gamma = g(\hat \theta)$。

【总结】

• 对于任意的变换函数，变换具有不变性

完备性

完备统计量的函数也是完备的。具有变换不变性。