这是篇比较早的论文了，09年左右那会儿是 unsupervised pre-training 大热的时候，因为它让训练深层网络看到了希望，而这篇主要是探讨了关于训练深层网络困难的问题，并通过实验分析了 unsupervised pre-training 给训练深层网络带来的优势。
Experimental Results
这篇论文主要以实验分析为主，主要讨论了以下几个问题：
- Why is it more difficult to train deep architectures than shallow architectures?
- How does the depth of the architectures affect the difficulty of training?
- What does the cost function landscape of deep architectures look like?
- Is the advantage of unsupervised pre-training related to optimization, or perhaps some form of regularization?
- What is the effect of random initialization on the learning trajectories?
Effect of Depth, Pre-training and Robustness to Random Initilization
第一组实验是随机参数初始化（无预训练，服从均匀分布）和预训练方式的效果比较。训练了400个模型，下图是 test error 的箱式图。可以看到带预训练的那组的 error ，随着隐层数量从1到4层，基本保持在一个 level，还有逐步减少的趋势；而没有预训练的那组在隐层为3层后 error 就开始上升了，并且隐层为2层后的 error 离群值也开始大幅增加。另外，实验结果中是没有5层隐层模型的结果，因为在当时的实验中，没有预训练的模型，5层网络就很难训练下去了。
另外通过下图两组不同层数的 test error 分布可以看到，1层网络没有 pre-training 的test error 分布区间为 [1.6, 2]，而4层网络没有 pre-training 的test error 分布区间为 [1.8, 3]。综合上面的结果，可以得到一个结论：增加层数会增加陷入 poor local minima 的概率，这也就回答了上面的其中一个问题，网络层数是如何影响深层网络训练的难度。
The Pre-Training Advantage: Better Optimization or Better Generalization?
预训练和随机初始化参数唯一的区别在于训练时参数空间的起始点。深层网络为什么会比浅层的网络训练要困难许多，主要是因为深层网络由许多层非线性层组成，这也就使得损失函数是非凸的，而非凸的优化是很困难的，因为存在许多疑似的局部最优点。而 pre-training 的优势在于其初始的参数处于较优的局部最优值附近，这也使得深层网络的优化会比随机初始化参数的情况下要好。
当然也可能存在一种情况，pre-training 初始的参数空间区域不一定比随机初始化的好（train error差不多），但是能使模型有更好的泛化能力（test error）。下面的实验则是验证了上面的猜想：pre-training 的优势不仅仅在于使得网络训练优化的更好，而且使得模型有更好的泛化能力。
为什么会有较好的泛化能力？一种可能是因为这里的 pre-training 是通过 stacked denoising auto-encoder 得到的，这也对模型的参数空间做了一个限制（因为初始的参数也要满足 denoising auto-encoder 能较好的重构出原始输入）。因此，pre-training 也起到了正则项（regularizer）的作用（但好像后来的论文也有提到说 pre-training 并没有起到 pre-training 的作用）。
A better Random Initialization?
作者有一个猜想蛮有趣的，就是是否有一个更好的分布来随机初始化参数能逼近 pre-training 的效果，他做了几组实验都和 pre-training 的效果有一定差距。当然，现在的一些参数初始化方式，已经有不错的效果了。
Evaluating the Importance of Pre-Training on Different Layers
作者还有一组实验是验证 pre-training 不同层所带来的效果增益。如下图，可以看到，只pre-training 第一层就能逼近 pre-training 全部层的效果，而 pre-training 第二层却达不到那种效果。这里的一个解释是 “training the lower layers is more difficult because gradient information becomes less informative as it is backpropagated through more layer.”，所以 pre-training 对 lower layers 来说是更重要。
总结
这篇论文讨论了为什么训练深层网络比浅层网络困难，并通过实验揭示了 pre-training 给深层网络训练带来的优势。虽然论文中 pre-training 和现在的 pre-training 方式不同（采用 stacked denoising auto-encoder 的方式），但论文中揭示了这里 pre-training 给深层网络训练带来效益的背后原因（better optimization and better generalization），这也是有一定指导意义的。