m数据结构 day5 栈：后进先出，只能在表尾插入和删除的线性表

栈和队列都是 特殊的线性表（本质上是线性表，因为他们的相邻元素也是一对一的线性关系，前驱后继，且同类型），所以栈和队列也可以用顺序结构和链式结构两种方式实现。他们的 特殊之处就在于限制了插入操作和删除操作的位置，栈的插入操作也叫做压栈，入栈，进栈；栈的删除操作也叫做出栈，弹栈。

栈顶top：允许插入和删除的一端
栈底bottom：固定，最先进栈的元素在栈底

既然栈可以用数组和链表很简单地实现，那为什么我们还要专门把他实现出来，比如C++， Java等语言基本都把栈结构封装好了的，可以直接使用，我们为什么不在需要用的时候自己写呢，毕竟写起来并不难？

这是因为把栈结构实现出来，有助于我们划分不同的关注层次，有助于缩小我们的思考范围，有助于我们去聚焦于问题的核心。如果没把栈封装好，每次都自己写，不利于代码重用，还需要分散精力去考虑实现细节，掩盖了问题的本质。我们可以从这个问题出发，以小见大，看到封装的
好处，把一些常用的结构或者功能封装好，就可以划分关注层次，聚焦问题核心，减小精力的分散和浪费。

现实应用举例（只要用了先进后出，后进先出思想的都是栈的示例）

就因为后进先出，所以栈也被叫做LIFO结构，那队列自然就是FIFO结构拉

• 手枪，，这例子牛逼。先放进去的子弹要后被发射出来，后放的子弹却先被发射出来。
• 浏览器网页回退，先回退到上一个观看的网页，再退到上上个网页，但是上个网页比上上个网页后进来
• word，photoshop等软件的undo撤回操作

栈的抽象数据类型

ADT Stack
Data//元素具有相同类型，相邻元素具有前驱后继的一对一的线性关系
OperationInitStack(*S);//初始化，建立一个空栈DestroyStack(*S);//销毁栈ClearStack(*S);//清空栈StackEmpty(*S);//是否为空GetTop(*S, *e);//把栈顶元素返回到e指向的内存中Push(*S, e);//把新元素e压栈Pop(*S, *e);//把栈顶元素出栈，放入e指向的内存对象StackLength(*S);
endADT

顺序栈：栈的顺序存储结构，用数组实现

顺序结构的线性表用数组实现，顺序结构的栈当然也使用数组实现。但是用数组哪一端作为栈顶呢？

答案是：下标为0的那端。让栈顶不断增长，用一个top变量表示栈顶元素在数组中的位置

#define SIZE 100
typedef struct
{ElemType data[SIZE];int top;//作为栈顶指针使用
}SqStack;

这里说的指针不是指针类型（指针类型是指向内存的），而是起到一各指向元素的作用，一个形象的说法，此指针非彼指针。这里用了int来起到指针的作用，即指向某个元素，只不过这里指向的不是内存，之前静态链表中使用int类型的cur游标表示指针，和这里类似。

进栈:O(1)

Status Push(SqStack * S, ElemType e)
{if (S->top == SIZE)return ERROR;//满栈S->data[S->top] = e;++(S->top);return OK;
}

出栈:O(1)

Status Pop(SqStack * S, ElemType * e)
{if (S->top == 0)return ERROR;--(S->top);*e = S->data[S->top];return OK;
}

两个同数据类型的栈共享空间：缓解数组长度必须事先确定的麻烦，适合于两栈的空间需求相反的情况

想法新颖，思路清奇，用这种手段去尽量避免数组长度设置不合理带来的痛苦。真的还是很聪明的，为了克服问题，什么办法都能想出来,非常有技巧性。

这个图特别形象：两个数组的端点一起向中间延伸，延伸的终止条件就是两个栈顶指针相遇（top1 + 1 == top2）。

这种共享很适合用于两个栈的空间需求基本相反的情况，即一个增加则另一个一般会减少，这样则可以最大化利用这个数组的空间。如果两个栈的空间需求一样，两个都同时增加或者同时减少，那要么很快就溢出要么句都空置，和单个栈不共享没有分别。

typedef struct
{ElemType data[SIZE];int top1;//栈1的指针从0开始增长，直到SIZEint top2;//栈2的指针从SIZE-1开始下降，直到-1
}SqDoubleStack;

一个指针增大，一个减小，但都指向各自栈的栈顶，即下一个可存储元素的位置

进栈

Status Push(SqDoubleStack *S, ElemType e, int StackNumber)
{if (S->top1+1 == S->top2)return ERROR;//栈满if (StackNumber == 1)S->data[(S->top1)++] = e;else if (StackNumber == 2)S->data[(S->top2)--] = e;return OK;
}

出栈

Status Pop(SqDoubleStack * S, ElemType * e, int StackNumber)
{if (StackNumber == 1){if (S->top1 == 0)return ERROR;//栈1是空栈*e = S->data[--(S->top1)];return OK;}else if (StackNumber == 2){if (S->top2 == SIZE - 1)return ERROR;//栈2是空栈*e = S->data[++(S->top2)];return OK;}
}

链栈： 栈顶结点替代头结点；不会满栈

栈只需在一端插入和删除，选择链表的头部还是尾部呢？头部有一个头结点，那何不把头结点和栈顶结点合二为一呢？所以链式栈不需要链表的头结点。

由于用链表实现栈，插入新结点会动态分配新内存，所以不会出现满栈情况，除非堆内存真的被程序用完了。

typedef struct StackNode//栈结点
{ElemType data;struct StackNode * next;
}StackNode, *LinkStackPtr;//LinkStackPtr是struct StackNode *，指向StackNode结点的指针类型typedef struct LinkStack//链栈
{LinkStackPtr top;int count;//链栈的元素个数
}LinkStack;

进栈:O(1)

进栈出栈都没有循环，时间复杂度都是O(1)

Status Push(LinkStack *S, ElemType e)
{LinkStackPtr s = (LinkStackPtr)malloc(sizeof(StackNode));s->data = e;s->next = S->top;S->top = s;++(S->count);return OK;
}

出栈:O(1)

Status Pop(LinkStack * S, ElemType * e)
{if (S->count == 0)//空栈return ERROR;*e = S->top->data;LinkStackPtr p = S->top;//改变栈顶前保存当前栈顶，便于后面释放S->top = S->top->next;//栈顶改为原来的第二个元素--(S->count);free(p);return OK;
}

链栈 VS 顺序栈

1. 时间上： 进栈出栈的时间复杂度一样，均为O（1）
2. 空间上：

• 顺序栈
  优点：存取时定位很方便
  缺点：需要实现确定数组大小，可能浪费空间或者不够用， 不够用则容易导致栈溢出 stack overflow
• 链栈
  优点：栈的长度没有限制
  缺点：要求每个元素都有指针域，增加了空间开销

二者进栈出栈都无需移动元素

所以如果栈的使用过程中大小不怎么变化且长度是基本可以预测的，就用顺序栈，否则就用链栈

栈的应用

看了这两个应用之后才发现，栈这种数据结构是多么地有用，并不只是咱们自己写代码时有用，而且计算机领域已经很多地方都使用了栈的原理和结构了，比如函数调用，表达式求值。都是非常常见但又不引人注意的地方，原来都隐藏了栈的身影！

递归（函数调用自己，调用自己和调用别的函数并没有什么不同）

但是递归最怕的就是无穷递归，永不结束。所以，递归最重要的就是要至少有一个递归结束条件，一旦满足这个条件就不再调用自己，而是返回上一级并传返回值。

经典递归例子：斐波那契数列 Fibonacci

迭代式代码，使用循环结构

#include <iostream>
int main()
{int i;int a[20];a[0] = 0;a[1] = 1;std::cout << a[0] << '\n';std::cout << a[1] << '\n';for (i = 2; i < 20; ++i){a[i] = a[i - 1] + a[i - 2];std::cout << a[i] << '\n';}return 0;
}

0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
377
610
987
1597
2584
4181

递归式代码，使用选择结构

递归的优点：使得程序结构更加清晰，简洁，易于理解
缺点：每一级递归调用都会建立一个函数的副本，需要耗费大量的时间和空间。

递归调用中有前进和回退两个阶段。回退阶段的顺序是前进阶段的逆序。前行阶段，每一层递归的函数副本的局部变量，参数值，返回地址都被压栈，回退阶段里，位于栈顶的函数副本的局部变量，参数值和返回地址被弹出，以恢复调用层次中执行的其余部分，所以实际上编译器是使用栈来实现递归的。只不过对于高级语言来说，这个栈不需要程序员自己管理，编译器和系统会管代劳。

#include <iostream>
int Fibo(int n)
{if (n < 2)return n==0 ? 0: 1;return Fibo(n-1) + Fibo(n-2);
}
int main()
{int i;for (i = 0; i < 20; ++i)std::cout << Fibo(i) << '\n';return 0;
}

四则运算表达式求值（原来如此！）

对于有括号的表达式：遇到左括号就入栈，遇到右括号就让栈顶左括号出栈

栈顶左括号出栈前的数字们参与运算

没括号表达式：逆波兰表示法reverse Polish Notation RPN

也叫做后缀表示法，因为所有的符号都在数字后面出现，于是就不需要用到括号了，人类看这种表达式是很不方便，但是 计算机很喜欢

逆，是因为每次运算时，都是要出栈栈顶的两个数，且第一个出栈的作为第二操作数，所以是逆序的。

波兰，是因为发明这个表示法的科学家是

示例

原表达式（这种平时咱们使用的标准四则运算表达式叫做中缀表达式）：

其后缀表达式（用后缀表示法表示的中缀表达式就是后缀表达式）：

计算规则：

计算过程：


注意第一个出栈的数作为减数，第二个出栈的是被减数

然后是符号/,第一个出栈的2作为除数，第二个出栈的10是被除数，两者相除得到5，入栈。

然后是符号+，第一个出栈的是5，第二个是15，相加得到20，进栈。

后缀表达式遍历完毕，出栈20作为结果，栈为空。

如何把中缀表达式转为后缀表达式

平时咱们书写的表达式就是中缀表达式，比如

刚才展示了如何利用栈把后缀表达式的结果计算出来，通过例子可以看到确实是很方便计算，不担心括号了，加减乘除的计算顺序也处理得很正确。但是如何把中缀表达式转为后缀表达式呢？

答案就在下面这段话中。

即只有符号会进栈出栈，数字不会进栈

然后数字1输出，表达式变为 9 3 1
然后遇到符号“）”，右括号，所以要去匹配之前的左括号，于是把栈顶元素依次出栈并输出，直到第一个左括号出栈为止。所以先出栈第一个“-”，表达式变为9 3 1 -， 然后出栈左括号，但是注意左括号出栈但不进入表达式，他只是和右括号匹配上了就好了。

然后是符号“ $*$”，它比栈顶符号“+”的优先级高，所以直接进栈。

然后是数字3，输出。表达式变为：9 3 1 - 3

然后遇到“+”， 它比当前栈顶符号“*”的优先级低，所以栈中符号依次出栈，直到栈顶符号优先级低于新遇到的这个“+”，但是当前栈中只有两个符号，从栈底到栈顶分别是“+”和“ $*$”,没人比新遇到的“+”优先级低，所以全部出栈并输出。表达式变为：9 3 1 - 3 $*$ +。然后再把当前新的“+”入栈。

然后是数字10，输出，表达式：9 3 1 - 3 $*$ + 10

然后是符号“ $/$”，除号优先级高于栈顶符号“+”，进栈。

最后一个数字2，输出，表达式变为：9 3 1 - 3 $*$ + 10 2

由于中缀表达式遍历完毕，所以栈中符号全部出栈并输出，表达式变为：9 3 1 - 3 $*$ + 10 2 $/$ +

总结发现，计算机计算表达式的两个关键步骤都要用到栈，中缀转后缀时栈中存符号；后缀计算结果时栈中存数字。之前还真不知道计算机原来是这么计算表达式的，只是直到肯定要想个办法去计算，原来用了后缀表达式。