Trust Region Policy Optimization (TRPO) 背后的数学原理

??本文是自己的TRPO算法学习笔记，在数学原理推导核心部分附有自己的理解与解释。整篇文章逻辑清晰，思路顺畅。有想推导的同学可以一起学习。

??TRPO和PPO都是基于Minorize-Maximization MM的算法。

Surrogate function

??RL中期望maximizing the expected discounted rewards，期望折扣奖励 $\eta$ 可用如下数学公式表示：

$\eta\left(\pi_{\theta}\right)=\underset{\tau \sim \pi_{\theta}}{\mathrm{E}}\left[\sum_{t=0}^{\infty} \gamma^{t} r_{t}\right]$

??我们希望去找到一个surrogate function(替代函数)，替代函数具有如下性质：

• a lower bound function for $\eta$；(是 $\eta$的一个下界函数)
• approximate $\eta$ at the current policy (在当前策略下能够近似等于 $\eta$)
• easy to optimize. (找这样一个替代函数的目的就是方便优化)

??其图形表示为下图所示(蓝色表示下界函数，红色表示期望折扣奖励)：

??在每一次迭代中，希望去找到一个对于下界函数 $M$来说的最优点，并把它当作当前的策略，如下图所示：

??之后，我们基于新的policy，重新评估下界(re-evaluate a lower bound)，并重复迭代。重复上述过程，策略将会被持续改进。由于策略集有限，所以所以最终将会收敛到局部最优或者全局最优，整个流程如下图所示：

??整体的目标就是在原有的参数空间 $\theta$上很难去计算最优值，我们期望用一个替代函数来作为它的lower bound，下界函数比较好优化，然后通过迭代的方式让其逼近原始最优解。

Objective function

??上述想法就很不错，现在我们需要去寻找目标函数和替代函数了。

??首先我们去定义Q-Value function，Value function和Advantage function，如下：

$Q_{\pi}(s_{t},a_{t}) = \mathbb{E_{s_{t+1},a_{t+1},\cdots}}\left[ \sum_{l=0}^{\infty} \gamma^{l}r(s_{t+l}) \right]$

$V_{\pi}(s_{t}) = \mathbb{E}_{a_{t},s_{t+1},\cdots} \left[ \sum_{l=0}^{\infty} \gamma^{l}r(s_{t+1}) \right]$

$A_{\pi}(s,a) = Q_{\pi}(s,a) -V_{\pi}(s)$

??其中 $a_{t} \sim \pi(a_{t}|s_{t})$， $s_{t+1} \sim P(s_{t+1}|s_{t},a_{t})$ , $t \geq 0$。

Expected discounted reward

??期望折扣奖励 $\eta$ 可被表示为：

$\eta(\pi) = \mathbb{E}_{s_{0},a_{0},\cdots} \left[ \sum_{t=0}^{\infty} \gamma^{t} r(s_{t}) \right]$

??其中， $s_{0} \sim \rho_{0}(s_{0})$， $a_{t} \sim \pi(a_{t}|s_{t})$， $s_{t+1} \sim P(s_{t+1}|s_{t},a_{t})$

??由于我们要比较更新前后的两个策略，从而保证策略一直在进步，所以作者这里是将新老策略写到了一个公式中：

$\eta(\tilde{\pi})=\eta(\pi)+\sum_{s} \rho_{\tilde{\pi}}(s) \sum_{a} \tilde{\pi}(a | s) A_{\pi}(s, a)$

??其中 $\rho_{\pi}$ be the (unnormalized) discounted visitation frequencies (任意时刻状态 $s$的访问概率和)，其展开形式表示为：

$\rho_{\pi}(s) = P(s_{0}=s) +\gamma P(s_{1} =s) + \gamma^{2} P(s_{2}=s) + \cdots$

??如果能保证 $\sum_{s} \rho_{\tilde{\pi}}(s) \sum_{a} \tilde{\pi}(a | s) A_{\pi}(s, a)$大于0，那新的策略下的期望折扣奖励就一直是在进步的。那这里就有两个问题了，1. 上述新老策略写在一个公式里面的证明呢？2. 如何去保证后面的附加项大于0?

??证明：

$\begin{array}{l} \underset{\tau \sim \tilde{\pi}}{\mathrm{E}}\left[\sum_{t=0}^{\infty} \gamma^{t} A^{\pi}\left(s_{t}, a_{t}\right)\right] \\ =\underset{\tau \sim \tilde{\pi}}{\mathrm{E}}\left[\sum_{t=0}^{\infty} \gamma^{t}\left(R\left(s_{t}, a_{t}, s_{t+1}\right)+\gamma V^{\pi}\left(s_{t+1}\right)-V^{\pi}\left(s_{t}\right)\right)\right] \\ =\eta\left(\tilde{\pi}\right)+\underset{\tau \sim \tilde{\pi}}{\mathrm{E}}\left[\sum_{t=0}^{\infty} \gamma^{t+1} V^{\pi}\left(s_{t+1}\right)-\sum_{t=0}^{\infty} \gamma^{t} V^{\pi}\left(s_{t}\right)\right] \\ =\eta\left(\tilde{\pi}\right)+\underset{\tau \sim \tilde{\pi}}{\mathrm{E}}\left[\sum_{t=1}^{\infty} \gamma^{t} V^{\pi}\left(s_{t}\right)-\sum_{t=0}^{\infty} \gamma^{t} V^{\pi}\left(s_{t}\right)\right] \\ =\eta\left(\tilde{\pi}\right)-\underset{\tau \sim \tilde{\pi}}{\mathrm{E}}\left[V^{\pi}\left(s_{0}\right)\right] \\ =\eta\left(\tilde{\pi}\right)-\eta(\pi) \end{array}$

??由此我们只剩下了第二点，从某个策略 $\pi$出发，通过计算找到一个策略 $\tilde{\pi}$，使得：

$\sum_{s} \rho_{\tilde{\pi}}(s) \sum_{a} \tilde{\pi}(a | s) A_{\pi}(s, a) \geq 0$

??即可使得 $\eta(\tilde{\pi}) \geq \eta(\pi)$，也就是说策略改变之后，整体的收益也会增加，从而实现单调递增。那现在所有的问题都转化到了如何使得 $\sum_{s} \rho_{\tilde{\pi}}(s) \sum_{a} \tilde{\pi}(a | s) A_{\pi}(s, a) \geq 0$？

Function $\mathcal{L}$

?? $\sum_{s} \rho_{\tilde{\pi}}(s) \sum_{a} \tilde{\pi}(a | s) A_{\pi}(s, a)$在实际中几乎是不可行的，因为公式中包含 $\rho_{\tilde{\pi}}(s)$，也就是说我们需要按照新的策略 $\tilde{\pi}$与环境交互得到状态 $s$的访问频率，但是这个新的策略 $\tilde{\pi}$是我们需要去求解的策略。也就是说如果要做的话，我们需要先确定新的策略 $\tilde{\pi}$，然后使用这个新的策略得到一定量样本，并最终通过这些样本统计判断这个策略能够满足上述要求，使得策略递增。我们需要不断地去尝试每一个可能的新策略。显然这种做法非常低效。

??于是需要去找与上述公式的近似且可解的形式，定义function $\mathcal{L}$：

$\mathcal{L}_{\pi}(\tilde{\pi}) =\eta({\pi}) + \sum_{s} \rho_{\pi}(s) \sum_{a} \tilde{\pi}(a | s) A_{\pi}(s, a)$

??与之前的公式：

$\eta(\tilde{\pi})=\eta(\pi)+\sum_{s} \rho_{\tilde{\pi}}(s) \sum_{a} \tilde{\pi}(a | s) A_{\pi}(s, a)$

??对比，我们可以发现，两者的不同仅仅在于状态访问概率 $\rho_{\tilde{\pi}}(s)$、 $\rho_{\pi}(s)$的不同。那 $\mathcal{L}_{\pi}(\tilde{\pi})$能否满足要求呢？其实两者的数值和导数方向都是相同的，那么用 $\mathcal{L}_{\pi}(\tilde{\pi})$代替原始目标函数也是可以的，要求更新的幅度不要太大就好。

??上面说了这么多，其实就是为了说明我们更新的幅度不要太大，因为更新大了之后，上述近似函数就无法成立， $\mathcal{L}_{\pi}(\tilde{\pi})$无法成立的话，你所拿策略 $\pi$采样得到的样本就没用了，因为实际上样本是要去新的策略 $\tilde{\pi}$里面去采样的，只是因为做了近似才可以用老的策略 $\pi$去采样。所以那我们怎么来保证其更新幅度不要太大呢？

??从之前的分析中可以知道 $\mathcal{L}$是下界函数(bound function) $M$中的一部分， $M$中的另外一项是KL散度(KL-divergence)：

$D_{KL}(P|Q|) = \mathbb{E}_{x} \text{log} \frac{P(x)}{Q(x)}$

??因此我们把策略模型看成一个概率分布，使用KL散度表示两个分布的距离。那两者之间有什么关系呢？原论文中作者用两页纸证明了 $\boldsymbol{\eta}$ 的下界：

$\eta (\pi_{new}) \geq L_{\pi_{old}}(\pi_{new}) -\frac{4 \varepsilon \gamma}{(1-\gamma)^{2}} \alpha^{2}$

??其中 $\varepsilon = \max_{s,a}|A_{\pi}(s,a)|$， $\alpha = D_{TV}^{max}(\pi_{old},\pi_{new})$， $D_{TV}^{max}(\pi, \tilde{\pi} ) = max D_{TV}(\pi(\cdot|s)||\tilde{\pi}(\cdot|s))$， $D_{TV}(p||q) = \frac{1}{2} \sum_{i}|p_{i}-q_{i}|$。

?? $D_{TV}$ 是total variation divergence，由于：

$D_{TV}(p||q)^{2} \leq D_{KL}(p||q)$

??得到新的下界函数(lower bound function)：

$\eta (\tilde{\pi}) \geq L_{\pi}(\tilde{\pi}) -CD_{KL}^{max}(\pi,\tilde{\pi})$

??其中 $C = \frac{4 \varepsilon \gamma}{(1-\gamma)^{2}}$， $D_{KL}^{max}(\pi,\tilde{\pi}) = max_{s}D_{KL}(\pi(\cdot|s) || \tilde{\pi}(\cdot |s))$

Monotonically improving guarantee

??What we really prove here is the new policy generated from optimizing $M$ will have a guarantee that it will perform better in $\eta$ (the real expected rewards) than the old policy. Since there are only finite policies, the continuous improvement will only lead us to a local or a global optimal point.

??令 $M_{i}(\pi) = L_{\pi_{i}}(\pi) -CD_{KL}^{max}(\pi_{i},\pi)$，有 $\eta({\pi_{i+1}}) \geq M_{i}(\pi_{i+1})$， $\eta({\pi_{i}}) = M_{i}(\pi_{i})$，所以可以得到：

$\eta({\pi_{i+1}}) - \eta({\pi_{i}}) \geq M_{i}(\pi_{i+1}) - M_{i}(\pi_{i})$

??则 $\pi_{i+1} =arg\max_{\pi}M_{i}(\pi)$时，期望折扣奖励将在下一次迭代被提升。

??由此我们可以得到保证策略提升的算法。Here is the iteration algorithm that guarantees that the new policy will always perform better than the current one.

??此时算法的目标函数变为：

$maximize_{\tilde{\pi}}[L_{\pi}(\tilde{\pi}) -CD_{KL}^{max}(\pi,\tilde{\pi})]$

??上式过于保守，将其做一些转变，得到有约束条件的优化目标：

$maximize_{\pi}L_{\pi_{old}}(\pi)$

$s.t. D_{KL}^{max}(\pi_{old},\pi) \leq \delta$

??在公式中需要对最大值进行约束，而最大值表示为KL散度上界，这实际上相当于对所有状态的KL散度进行约束，这样约束条件会变得多而复杂，将最大值变成均值理论上有所放松，但实际效果还好，于是有了：

??优化目标 $\mathcal{L}_{\pi}(\tilde{\pi})$为：

$\mathcal{L}_{\pi}(\tilde{\pi}) =\eta({\pi}) + \sum_{s} \rho_{\pi}(s) \sum_{a} \tilde{\pi}(a | s) A_{\pi}(s, a)$

??而其中 $\tilde{\pi}(a | s)$与新策略有关，无法对其采样，由此我们引入重要性采样：

$\sum_{a} \pi_{\theta}\left(a | s_{n}\right) A_{\theta_{\text {old }}}\left(s_{n}, a\right)=\mathbb{E}_{a \sim q}\left[\frac{\pi_{\theta}\left(a | s_{n}\right)}{q\left(a | s_{n}\right)} A_{\theta_{\text {old }}}\left(s_{n}, a\right)\right]$

??the objective can be rewritten as：

$\begin{array}{c} \underset{\theta}{\operatorname{maximize}} \mathbb{E}_{s \sim \rho_{\theta_{\text {old }}}, a \sim q}\left[\frac{\pi_{\theta}(a | s)}{q(a | s)} \hat{A}_{\theta_{\text {old }}}(s, a)\right] \\ \text { subject to } \mathbb{E}_{s \sim \rho_{\theta_{\text {old }}}}\left[D_{\mathrm{KL}}\left(\pi_{\theta_{\text {old }}}(\cdot | s) \| \pi_{\theta}(\cdot | s)\right)\right] \leq \delta \end{array}$

??With Lagrangian duality, a constraint for an objective function can be integrated back to the objective function with a multiplier. Both are mathematically the same(利用拉格朗日对偶，把约束项提到目标函数中去):

直觉的看法

??在之前的Gradient ascent方法中都是选择了梯度的方向，如下图中的左图所示，但是更新步长如果选取地不好很容易掉入深渊：

??在TRPO中限制了更新步长，并且在数学上证明了会收敛到局部最优或者全局最优：

• 参考文献：
• https://medium.com/@jonathan_hui/rl-the-math-behind-trpo-ppo-d12f6c745f33
• 强化学习精要核心算法与Tensorflow实现。