Algebra:Chapter 0 - 集合

集合

set记号将“一坨对象”这个直观的概念给正式化了。集合中所包含的对象就确定了这个集合：两个集合 $A$和 $B$是相等的（记作 $A == B$）当前仅当它们包含了相同的元素。

“什么是一个元素?”这个问题在朴素集合论是一个forbidden question。

作者这里就是提了一下，现阶段就把元素当作鸡鸭牛羊，点线面等乱七八糟的东西，反正都能往集合里面装。

可以通过列出集合中的所有元素来定义一个集合。
$A := \{1,2,3\}$按约定，集合中的元素如何列举，或者重复对于集合的定义而言都是无关紧要的。比如： $\{1,2,3\} = \{1,3,2\} = \{1,2,1,3,3,2,3,1,1,2,1,2\}$采用列举元素的这种方式显得非常的冗长复杂，而且只适用于有限集合。对于无限集合，解决这种问题的方法是采用某种模式，比如偶数集合可以写成这样：
$E = \{\dots,-2,0,2,4,6,\dots\}$但是这种定义天生地带有歧义，容易误解。而且有些集合还“非常大”，根本无法列举，比如实数。

所以通常更好的做法是定义一个描述集合元素的表达式，这些元素属于某个更大的（并且是已知的）集合 $S$，满足某种性质 $P$。
$A = \{s\in S\mid s\ \textup{satisfies}\ P\}$( $\in$表示属于）这种方式是精确的且没有歧义。

我们偶尔会遇到集合记号的变体，叫做“multiset”。一个multiset是一个允许“多样性”元素的：比如 $\{2,2\}$ 就和 $\{2\}$不同 。正确定义multiset的方法是通过 $functions$。

一些常用的集合如下：

• ${\empty}$：空集，不包含任何元素的集合；
• $\mathbb{N}$：自然数的集合（非负整数的集合）；
• $\mathbb{Z}$：整数集合；
• $\mathbb{Q}$：有理数的集合；
• $\mathbb{R}$：实数集合；
• $\mathbb{C}$：复数集合。

$singletion$用来表示只包含一个元素的集合。比如 $\{1\}$， $\{2\}$， $\{3\}$都是不同的集合，但是它们都是 $singletions$。

下面是一些有用的符号（称作“数量词;数量修饰语;量词”）：

• $\exist$ 表示“存在”（existential quantifier）；
• $\forall$ 表示“对于所有”（universal quantifier）。

比如偶数集合可以写成： $E = \{a\in \mathbb{Z}\mid(\exist n \in \mathbb{Z})\ a = 2n\}$用语言描述就是“存在整数 $n$使得 $a=2n$的所有整数 $a$”。

另外要注意书写的顺序会有很大的影响。例如： $(\forall a \in \mathbb{Z})(\exist b \in \mathbb{Z})\ b = 2a$为真：

TO BE CONTINUED

单词

• immaterial: 不重要;无关紧要;无形体的;非物质的
• cumbersome: 大而笨重的;难以携带的;缓慢复杂的;冗长的;累赘的;复杂的
• inherently: 天性地，固有地
• quantifier: 数量词;数量修饰语;量词