P1828 [USACO3.2]香甜的黄油 Sweet Butter 题解_综合

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简要题意：

给定一个 $n$ 个点的无向图，有边权。有 $k$ 个仓库，每个点属于一个仓库。

你需要选定 $k$ 个仓库其中的一个使得所有点到它的最短路上的边权之和最小。求这个最小的和。

$n \leq 800$ .

一看到 $n \leq 800$ ，算法很明显。有两种解决方案。

算法一

利用 $\text{Floyd}$ .

可以用 $\mathcal{O}(n^3)$ 的时间求出两两最短路。

下面大力统计即可。

时间复杂度： $\mathcal{O}(n^3)$ .

实际得分： $0pt$ .

算法二

利用 $\text{SPFA}$ $.

同样是求两两点最短，考虑 $n$ 次单源，用 $\text{SPFA}$ 做到 $\mathcal{O}(n^3)$ .

实际上这东西跑不满。

时间复杂度： $\mathcal{O}(n^3)$ .

实际得分： $100pts$ .（不可能跑满啊）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;inline int read(){char ch=getchar();int f=1; while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-')f=-f; ch=getchar();}int x=0;while(isdigit(ch)) x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar(); return x*f;}int n,p,c;
vector<pair<int,int> >G[2001];
int dis[2001],vis[2001],a[2001];inline int SPFA(int stc) { //SPFA 单源求出所有点到 stc 的最短路queue<int>q;memset(dis,0x3f,sizeof(dis)); dis[stc]=0; vis[stc]=1;q.push(stc);while(!q.empty()) {int u=q.front(); q.pop(); vis[u]=0;for(int i=0;i<G[u].size();i++) {int v=G[u][i].first,c=G[u][i].second;if(dis[v]>dis[u]+c) {dis[v]=dis[u]+c;if(!vis[v]) {vis[v]=1; q.push(v);}}}}int s=0;for(int i=1;i<=n;i++) s+=dis[a[i]];return s; //统计当前仓库的答案
}int main(){n=read(),p=read(),c=read();for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();for(int i=1;i<=c;i++) {int u=read(),v=read(),w=read();G[u].push_back(make_pair(v,w));G[v].push_back(make_pair(u,w));}int mini=INT_MAX;for(int i=1;i<=p;i++) mini=min(mini,SPFA(i));printf("%d\n",mini); //最小答案return 0;
}

算法三

考虑数据加强： $n \leq 2000$ .

同样求两两最短路，用 $n$ 次 $\text{Dijkstra}$ 即可做到 $\mathcal{O}(n^2 \log n)$ .

时间复杂度： $\mathcal{O}(n^2 \log n)$ .

实际得分： $100pts$ .