线性代数学习笔记（十六）——初等变换（二）

本篇笔记首先介绍了初等方阵的定义、初等变换和初等方阵的关系、初等方阵求行列式、初等方阵求逆矩阵以及初等方阵求转置；然后介绍了初等方阵的用处，以及任意矩阵、初等矩阵和标准形之间的关系；最后介绍了矩阵可逆的两个充分必要条件，一个是矩阵的标准形为单位阵，另一个是矩阵可以表示成一些初等矩阵的乘积。

1 初等方阵

1.1 初待方阵的定义

对单位阵 $E$做一次初等（行或列）变换得到的矩阵。

① 交换两行（或两列）；
$E=\begin{bmatrix}\color{red}{1}&&&\\&1&&\\&&\color{#FF00FF}{1}&\\&&&1\end{bmatrix}\xrightarrow{交换第一行和第三行}\begin{bmatrix}&&\color{#FF00FF}{1}&\\&1&&\\\color{red}{1}&&&\\&&&1\end{bmatrix}=E(i, j)$

记作： $E(i, j)$，该矩阵就叫初等方阵。注意：该矩阵已经不再是单位矩阵。

② 用 $k(k{\neq}0)$乘以某行（或某列）；
$E=\begin{bmatrix}1&&&\\&1&&\\&&\color{red}{1}&\\&&&1\end{bmatrix}\xrightarrow{用数5{\times}第三行}\begin{bmatrix}1&&&\\&1&&\\&&\color{#FF00FF}{5}&\\&&&1\end{bmatrix}=E(i(k))$

记作： $E(i(k))$，要求 $(k{\neq}0)$，表示用 $k$乘以矩阵的第 $i$行或第 $i$列。

③ 某行（或列）的 $l$倍加到另一行（或列）上去；
$E=\begin{bmatrix}1&&&\\&1&&\\&&\color{red}{1}&\\&&&1\end{bmatrix}\xrightarrow{第三行的5倍加到第一行}\begin{bmatrix}1&&\color{#FF00FF}{5}&\\&1&&\\&&\color{red}{1}&\\&&&1\end{bmatrix}=E(i, j(l))$

记作： $E(i, j(l))$，表示第 $j$行的 $l$倍加到第 $i$行上去。注意：第③种初等行变换和列变换得到的结果不同，而第①种和②种初等行变换和列变换得到的结果相同。

1.2 初等变换和初等方阵的关系

初等变换	初等方阵
变化过程	方阵
$[]\to[]$	$\begin{bmatrix}1&&&\\&1&&\\&&3&\\&&&1\end{bmatrix}$
动作	结果

1.3 初等方阵求行列式

上述三种初等方阵的行列式分别为：

$\begin{vmatrix}&&\color{#FF00FF}{1}&\\&1&&\\\color{red}{1}&&&\\&&&1\end{vmatrix}=-1\qquad\begin{vmatrix}1&&&\\&1&&\\&&\color{#FF00FF}{5}&\\&&&1\end{vmatrix}=5\qquad\begin{vmatrix}1&&\color{#FF00FF}{5}&\\&1&&\\&&\color{red}{1}&\\&&&1\end{vmatrix}=1$

所以： $|E(i, j)|=-1{\qquad}|E(i(k))|=k(k{\neq}0){\qquad}|E(i, j(l))|=1$

1.4 初等方阵的逆矩阵

很明显，三种初等方阵的行列式均不等零。所以：
① 初等方阵均可逆，

其逆矩阵为：
$E^{-1}(i, j)=E(i, j){\qquad}E^{-1}(i(k))=E(i(\frac{1}{k})){\qquad}E^{-1}(i, j(l))=E(i, j(-l))$

② 初等方阵的逆矩阵也是初等方阵。

1.5 初等方阵求转置

$E^T(i, j)=E(i, j){\qquad}E^T(i(k))=E(i(k)){\qquad}E^T(i, j(l))=E(j, i(l))$

③ 初等方阵的转置也是初等方阵。

2 初等方阵的使用

例1：已经初等方阵 $E(2(3))=\begin{bmatrix}1&&\\&3&\\&&1\end{bmatrix}$， $E(1, 3)=\begin{bmatrix}&&1\\&1&\\1&&\end{bmatrix}$， $A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}$，求 $E(2(3))A$和 $AE(1, 3)$。

解： $E(2(3))A=\begin{bmatrix}1&&\\&3&\\&&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&2&3\\12&15&18\\7&8&9\end{bmatrix}$

$AE(1, 3)=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\begin{bmatrix}&&1\\&1&\\1&&\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3&2&1\\6&5&4\\9&8&7\end{bmatrix}$

通过观察可以发现，当初等方阵左乘或右乘一个矩阵时，相当于对该矩阵做了得到初等方阵时对应的初等变换。

定理2.6.2：设 $A$为任意矩阵，用第 $i$种初等方阵左乘 $A$，相当于对 $A$实施第 $i$种初等 $\color{red}{行}$变换；用第 $i$种初等方阵右乘 $A$，相当于对 $A$实施第 $i$种初等 $\color{red}{列}$变换。

$左乘{\quad\longleftrightarrow\quad}行$
$右乘{\quad\longleftrightarrow\quad}列$

举例：已知 $A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}$，求 $AE(1(4))$、 $E(1(4))A$、 $AE(2, 3)$和 $E(2, 3)A$。

解：因为初等方阵 $E(1(4))$为单位阵第一行（或列）$\times $4得到，并且$AE(1(4)) $为$E(1(4)) $右乘$A $，所以对$A $实施与$E(1(4))$同样的初等列变换即可，故：
$AE(1(4))=\begin{bmatrix}\color{red}{4}&2&3\\\color{red}{16}&5&6\\\color{red}{28}&8&9\end{bmatrix}$

同理，因为 $E(1(4))A$是 $E(1(4))$左乘 $A$，相当于对 $A$实施了 $E(1(4))$同样的初等行变换，所以：
$E(1(4))A=\begin{bmatrix}\color{red}{4}&\color{red}{8}&\color{red}{12}\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}$

$AE(2, 3)=\begin{bmatrix}1&\color{red}{3}&\color{#FF00FF}{2}\\4&\color{red}{6}&\color{#FF00FF}{5}\\7&\color{red}{9}&\color{#FF00FF}{8}\end{bmatrix}$

$E(2, 3)A=\begin{bmatrix}1&2&3\\\color{red}{7}&\color{red}{8}&\color{red}{9}\\\color{#FF00FF}{4}&\color{#FF00FF}{5}&\color{#FF00FF}{6}\end{bmatrix}$

初等方阵有何用？

初等变换	初等方阵左乘或右乘矩阵
动作	如 $E(i, j)A=B$
$[]\to[]$	=
$\times$ 不喜欢	√ 喜欢

所以，但凡说用初等变换做啥了，在做题时一般需要转化为左乘或右乘相应的初等矩阵。

定理3：对于任意的矩阵 $A$，都存在初等矩阵 $P_1, P_2, ..., P_s, Q_1, Q_2, ..., Q_t$，使得 $P_s... P_2P_1AQ_1Q_2... Q_t$为 $A$的标准形。

证明：根据上一篇笔记线性代数学习笔记（十五）——初等变换（一）初等变换与标准形的定理1可知：
任意矩阵都可以通过（行和列）初等变换化为标准形，即：
$A\xrightarrow[或初等列变换]{初等行变换}...\xrightarrow[或初等列变换]{初等行变换}...\xrightarrow[或初等列变换]{初等行变换}标准形$，
如果是做初等行变换，那就相当于左乘初等矩阵，
如果是做初等列变换，那就相当于右乘初等矩阵，故：
$P_s... P_2P_1AQ_1Q_2... Q_t$最终化为 $A$的标准形。

推论1：如果矩阵 $A$和矩阵 $B$等价 $\Longleftrightarrow$存在可逆矩阵 $P$和 $Q$，使得 $PAQ=B$。

证明：因为 $A$和 $B$等价，即 $A$经过初等变换得到 $B$，可能做初等行变换，也可能做初等列变换。
若经过初等行变换，就相当于左乘初等矩阵（ $\underline{P_s... P_2P_1}A$）
若经过初等列变换，就相当于右乘初等矩阵（ $A\underline{Q_1Q_2... Q_t}$）
最终化成了 $B$，即：
$\underline{P_s... P_2P_1}A\underline{Q_1Q_2... Q_t}=B$。
又因为初等方阵都可逆，因它们的乘积也可逆，即：
$(P_s... P_2P_1)^{-1}=P_1^{-1}P_2^{-1}... P_s^{-1}=P$，
$(Q_1Q_2... Q_t)^{-1}=Q_s^{-1...}Q_2^{-1}Q_t^{-1}=Q$，
故存在可逆矩阵 $P$和 $Q$，使得 $PAQ=B$。

3 矩阵可逆的充要条件

下面介绍矩阵可逆的两个充分必要条件。

定理4：矩阵 $A$可逆 ${\Longleftrightarrow}A$的标准形为单位阵 $E$。

必要性：假设 $A$可逆，其标准形为 $D$。
根据定理3可知，存在初等矩阵 $P_1, P_2, ..., P_s, Q_1, Q_2, ..., Q_t$，
使得 $P_s... P_2P_1AQ_1Q_2... Q_t=D$，等式两边取行列式得：
$|P_s... P_2P_1AQ_1Q_2... Q_t|=|D|$，即：
$|P_s|...|P_2||P_1||A||Q_1||Q_2|...|Q_t|=|D|$，
因为 $A$可逆，所以 $|A|{\neq}0$，
又因为初等矩阵 $P_1, P_2, ..., P_s, Q_1, Q_2, ..., Q_t$都可逆，
所以 $|P_s|{\neq}0, ..., |P_2|{\neq}0, |P_1|{\neq}0, |Q_1|{\neq}0, |Q_2|{\neq}0, ..., |Q_t|{\neq}0$，
所以 $|D|{\neq}0$，
又因为 $D$为标准形，
所以 $D$必须为单位阵 $E$。

充分性：如果 $A$的标准形为单位阵 $E$，
即： $P_s... P_2P_1AQ_1Q_2... Q_t=E$，等式两边取行列式得：
$|P_s... P_2P_1AQ_1Q_2... Q_t|=|E|$，即：
$|P_s|...|P_2||P_1||A||Q_1||Q_2|...|Q_t|=1{\neq}0$，
又因为初等矩阵 $P_1, P_2, ..., P_s, Q_1, Q_2, ..., Q_t$都可逆，
即 $|P_s|{\neq}0, ..., |P_2|{\neq}0, |P_1|{\neq}0, |Q_1|{\neq}0, |Q_2|{\neq}0, ..., |Q_t|{\neq}0$，
所以 $|A|{\neq}0$，即 $A$可逆。

定理5：矩阵 $A$可逆 ${\Longleftrightarrow}A=P_1P_2... P_s$，即 $A$可以表示成一些初等矩阵的乘积。

证明：根据定理4可知：
$P_s... P_2P_1AQ_1Q_2... Q_t=E$，等式两同时左乘 $P_1^{-1}P_2^{-1}... P_s^{-1}$和右乘 $Q_t^{-1}... Q_2^{-1}Q_1^{-1}$得：
$\underline{P_1^{-1}P_2^{-1}... P_s^{-1}}P_s... P_2P_1AQ_1Q_2... Q_t\underline{Q_t^{-1}... Q_2^{-1}Q_1^{-1}}=\underline{P_1^{-1}P_2^{-1}... P_s^{-1}}E\underline{Q_t^{-1}... Q_2^{-1}Q_1^{-1}}$
所以 $A=P_1^{-1}P_2^{-1}... P_s^{-1}Q_t^{-1}... Q_2^{-1}Q_1^{-1}$
又因为 $P_1, P_2, ..., P_s, Q_t, ..., Q_2, Q_1$均为初等方阵，而初等方阵均可逆，
所以其逆矩阵（ $P_1^{-1}, P_2^{-1}, ..., P_s^{-1}, Q_t^{-1}, ..., Q_2^{-1}, Q_1^{-1}$）也是初等方阵，
故 $A$可以表示为一些初等矩阵的乘积。

总结：矩阵 $A$可逆的条件：
① $|A|=0$;
② $A$的标准形为 $E$；
③ $A=P_1P_2... P_s$，即 $A$可以表示成一些初等矩阵的乘积。

4 引用

《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_2.6 初等变换（二）