吐槽：并不是非常连贯的听完了这周的课程，于是记个笔记捋一下思路，顺便记录一个quiz的题目，做错两遍都不造为什么，，最后还是查了一下才发觉的。。太值得记一下= =
正文：
1，Classification and Representation（分类问题及其表示）
分类问题的例子：邮件是垃圾还是非垃圾，在线交易是欺诈的还是非欺诈的，肿瘤是良性的还是恶性的。如果y只有0或1，0则为negative class（比如恶性肿瘤），1则为positive class（良性肿瘤）
为什么不用线性回归解决分类问题：考虑输出只有01的情况，假设0.5是阈值，高于是1低于是0，如果用线性回归：则h(x)是存在>1或<0的值，离我们的阈值太远；而且训练的模型很容易受到新的训练集例子的影响，比如新的训练集例子离以前的0.5处对应的x远，则新的h(x)=0.5处的x值则会向新的训练集例子处偏移。
分类问题的表示：希望0<=h(x)<=1，所以用逻辑回归模型，即sigmoid函数，也叫logistic函数。h(x) = 1/(1 + e^(-thetaTx))（sigmoid函数记为g(z)=1/(1+e^(-z))，h(x)记为g(thetaTx)）
对h(x)的解释：x为某值时y=1近似的概率，比如在肿瘤分类问题上h(x)=0.7，也就是在这个x时y=1（肿瘤是良性）的概率是0.7.
决策边界：就是thetaTx=0时代表的边界（可以是直线可以是曲线），也是假设函数h(x)在确定了参数theta后定义的一个性质（产生原因是thetaTx>=0时y=1，<0时y=0）。
2，Logistic Regression Model（逻辑回归模型）
为什么逻辑回归不能用线性回归的代价函数：如果这样，代价函数则是一个非凸函数，那么就没法用梯度下降法找到全局最小值。
代价函数的一般形式：J(theta) = -1/m*sum(cost(h(x^(i)), y^(i)))（i=1到m求和）
逻辑函数的cost(h(x^(i)), y^(i))：-log(h(x)) if y=1; -log(1-h(x)) if y=0（等价形式：y*log(h(x)) + (1-y)*log(1-h(x))，推导是用极大似然估计，总结：cost = 0 if h(x) = y; cost->inf if y = 0 and h(x)->1; cost->inf if y = 1 and h(x)->0）
逻辑函数的代价函数：J(theta) = -1/m*sum(y^(i)*log(h(x^(i))) + (1-y^(i))*log(1-h(x^(i))))（i=1到m求和）
梯度下降法：repeat{ theta_j := theta_j - alpha*1/m*sum( (h(x^(i))-y^(i) )*x_j^(i) } (note: simultaneously update all theta_j) （这里的公式和线性回归长的一样，但是要注意h(x)不一样，所以还是有区别）
向量化实现：h = g(X*theta); J(theta) = 1/m*(-yT*log(h) - (1-y)T*log(1-h)); theta = theta - alpha*1/m*XT*(g(X*theta) - y)
高级优化算法：联合梯度法，BFGS，L-BFGS（优：不用人工选择alpha，一般比梯度下降法快；缺：更复杂）
octave里面的实现：options = optimset('GradObj', 'on', 'MaxIter', 100); initialTheta = zero(2,1); [optTheta, functionVal, exitFlag] = fminunc(@costFunction, initialTheta, options);
多分类问题：就是y的离散值个数>=3，比如天气分类，晴天多云雨天雪天。
多分类问题的决策边界：就是把第一个类看作y=1其他类都看作y=0然后画一条叫h^(1)(x)，以此类推，第n个类看作y=1其他类都是y=0画一条叫h^(n)(x)。
一对多：k个类有k个不同的分类器，选择的类i应该是使h^(i)(x)最大的i。
3，Regularizxianglianghation（正则化）
过拟合问题：如果我们有很多特征，则假设函数可能很拟合训练集内容，但是并不能推广到新的例子上（产生情况：很多特征和很少的训练数据）。
解决方案：减少特征数量（人工挑选，模型选择算法）；正则化（保持所有参数但减少其权重，在有很多特征时很好）
正则化后的代价函数：J(theta) = 1/(2m)*[sum( (h(x^(i))-y^(i))^2 ) + sum( lamda*sum((theta_j)^2) )]（第一个sum从1到m，第二个sum从1到n，注意不是0到n）
正则化后的梯度下降法：repeat{ theta0 := theta0 - alpha*1/m*sum( (h(x^(i))-y^(i) )*x_0^(i); theta_j := theta_j*(1-alpha*lamda/m) - alpha*1/m*sum( (h(x^(i))-y^(i) )*x_j^(i) } (note: simultaneously update all theta_j)
正则化后的正规方程法：theta = (XTX + lamba*对角线为011...111的大小为(n+1)*(n+1)的矩阵)^(-1)*XT*y
quiz里面错的题目：使用正则化一定可以优化训练集外的数据吗？不一定，跟lamda的取值有关（lamda如果过大则h(x) = theta0，即theta1到n都近似为0的情况）。（https://blog.csdn.net/wangcong02345/article/details/79028050）