《Real-Time Rendering 4th Edition》读书笔记--简单粗糙翻译 第四章 变换 Transforms

        计算法线变换，不使用三角形等使用的变换矩阵，取而代之的是其逆转置矩阵。 由于法线在经过变换后长度不一定为1，需要进行归一化处理。这种方法正常是有效的，但是有时候是不需要取逆的。逆矩阵是用伴随矩阵除以原始矩阵的行列式得到的，有时候行列式为0，即不存在逆矩阵。

 

        计算一个4x4矩阵的伴随矩阵是昂贵的，且通常是不需要的，因为平移是不会影响到法线，此外，大部分模型变换都是仿射的，并没有改变齐次坐标系下的w值，不会进行投影变换。在这些情况下，法线变换的计算通常是是计算矩阵左上的3x3伴随矩阵。

 

         甚至有时候左上角的伴随矩阵也不需要计算，变换矩阵由平移矩阵、旋转矩阵和统一缩放矩阵（无拉伸或挤压的）。平移是不会影响法线的。统一缩放矩阵只影响法线的长度，剩下的只有旋转矩阵。转置矩阵是正交矩阵，其转置矩阵就是其逆矩阵，所以逆转置矩阵就是其本身。这种情况下，法线转换可直接用原始矩阵。

 

        有时候归一化操作是不需要的。只有在平移和旋转在一起操作时，法线长度经过变换后会改变。如果使用了统一缩放，则直接用统一缩放因子处理就好。例如，一个物体被放大5.2倍，那么直接只需要把变换后的法线除以5.2即可归一化，或者将变换矩阵的左上的3x3矩阵除以5.2，即生成了一个已归一化的法线矩阵。  

        注意， 法线变换并不是作用于对三角形的面法线，面法线经过三角形的三条边叉乘得到，始终垂直于表面。切向量也不同于法向量，切向量是直接通过原始矩阵计算得到的。

 

        在许多情况下，例如，在坐标系切换的时候，根据变换的有用信息，可使用下面三个方式求矩阵的逆矩阵：

 

        · 如果矩阵是单个变换矩阵或一系列简单变换矩阵的组合，那么可以简单通过颠倒这些矩阵的顺序并依次求其逆矩阵的方式得到，例如，如果 ， 那么 = 。这样简单且能保留变换的精度，这对渲染大世界的时候很有用。

        · 如果已知矩阵是正交矩阵，则有 ，也就是说其转置矩阵就是其逆矩阵。任何旋转矩阵的组合在一起还是旋转矩阵，也就是正交矩阵。

 

        · 如果已知变换没什么有用信息，那么只能通过伴随矩阵、  Cramer法则，LU分解或者高斯消元来计算逆矩阵。通常使用的是克莱默法则和伴随矩阵，因为他们的分支比较少，通常需要尽量避免if分支。

        在优化的时候通常要考虑到求逆计算。 如果需要对变换矩阵求逆，通常只需要计算矩阵左上的3x3矩阵。

 

        本节将会介绍对实时图形渲染极其重要的几种矩阵变换。首先是欧拉变换（Euler transform ），含参数提取，一种很直观地描述方向的方式。然后是从一个矩阵中提取出一组基本变换。最后是找到一个绕任意轴旋转的方法。

 

       欧拉变换是一种很直观的方式去构建物体的具体朝向。它的名字来自伟大的瑞典数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）。

        首先需要建立一些默认的视图方向。最为常见的是沿着负z轴，并头部沿着y轴向上，如图4.7所示。欧拉变换由三个旋转矩阵相乘得到，图4.7给出了这三个矩阵的名称。用公式E表示如下：

        上述矩阵的表达式有24种。这里给出的是最为常用的。因为E是一组旋转矩阵的串联，所以E是正交的，因此它的逆矩阵可以表示为，当然也可以直接使用E的转置矩阵。

图4.7 展示了欧拉变换及如何改变head，pitch和roll。默认的视图方向是，沿着负z轴向前，沿着y轴向上。

        欧拉角用h，p，r分别表示旋转顺序及它们各自沿着自己轴线的旋转角度。有时候这些角度都被称为rolls，例如head是y-roll，pitch是x-roll。而head有时候被称为yaw，例如在飞行模拟中。

        这种变换是很直观，因为很容易被外行理解。例如，改变head角度和观察者摇头很像，而改变pitch角度就像是点头，改变roll角度就像倾斜头部。所以我们不用x，y，z轴，改而用head，pitch和roll来表示。注意，欧拉变换可以确定任何物体的方向。不仅可以使用世界空间中的全局轴，也可以使用局部坐标系中的轴。

        注意一些欧拉角认为z轴是初始向上方向，这只是表达符号上的不同，尽管很容易混淆。在计算机图形学中存在一种分歧：z轴向上或y轴向上。大部分制造领域中，例如3D打印，认为z轴在世界空间中是向上的，而在航空、海洋领域认为-z表示向上。建筑学和地理信息系统（GIS）则认为z轴向上，因为建筑平面图和地图是2D，x轴和y轴。媒体相关的建模系统中认为y轴是世界坐标中向上的方向，这和我们在计算机图形学中一直认为的摄像机的向上方向是y轴的这一说法相吻合。这两种说法的区别仅在于旋转90度（或者反射90度），但是如果不知道容易出问题。在本书中，除非特别说明，使用的是y轴向上。

        需要指出的是摄像机的观察空间的向上方向和世界空间的向上方向不同。摄像机Roll的时候，观察视角会发生倾斜，这个时候它在世界空间的向上方向和世界空间定义的向上方向不同。再举个例子，世界空间是y轴向上的，然后用摄像机朝下去拍摄俯视图，这需要摄像机pitch旋转90度，所以这时候摄像机在世界空间中的向上方向为（0，0，-1）。这个方向上摄像机没有y分量，取而代之-z成为了向上方向。但是在观察空间，根据定义，y轴向上仍然是正确的。

        虽然在一些小角度上的改变或在观察方向上，欧拉角很有用，但是欧拉角有着严重的限制。很难组合使用两组欧拉角。例如，两组欧拉角间的插值并不是简单对每个角度进行插值。实际上，两组不同欧垃角有可能指向的同一个方向，所以插值根本就没有旋转物体。这也是引出欧拉角的取代方案（例如四元数）的原因。欧拉角会引起一种现象叫万向节死锁，下一节4.2.2将会讲到。

4.2.2 从欧拉角中提取参数

        有时候，从一个正交矩阵中提取出欧拉参数（h,p,r）会非常有用。步骤如下：

        这里用3x3矩阵替代了4x4矩阵，因为3x3矩阵拥有旋转矩阵所有必要的信息。而4x4矩阵剩下部分除了右下角为1，其他部分全为0。

        公式4.22可表示为：

可以看到，pitch可以通过得到。将除以可以得到roll，除以可以得到head。

因此，欧拉角h（head）、p（pitch）、r（roll）可以通过矩阵E用函数得到：

        然而，有一个特殊的情况需要考虑到。如果，那么会出现万向节死锁，roll和head会绕着同一个轴旋转（尽管可能方向不同，这取决于p的旋转角度是还是）。（万向节死锁，如果约定旋转的顺序是先y（head or yaw），然后x（pitch），最后z（roll），那么在y旋转后，将x旋转90度，会出现z和y在一条线上）。假设h = 0，则有

因为p不会影响到第一列，如果，则可以用，得到。

        注意arcsin的定义，p的取值区间为，这意味着，如果p的取值在这外，则无法提取参数。h，p，r这三个参数并不是唯一，也就是说多组欧拉角可以得到同一结果。虽然上述方法会导致数据的不稳定，但这可减少性能消耗。

        从公式4.26也可以看出万向节死锁，如果，例如的时候，其中k是一个整数。在p这样的取值情况下，会丢失一个轴向自由度，因为矩阵仅依靠一个角度，或者。

        尽管规定了欧拉角在模型系统中的顺序为x/y/z，但是还是可以按照其他顺序的。例如，在动画中通常用z/x/y这个顺序。没有完美的顺序可以避免万向节死锁，但是欧拉角还是最为常用的，例如动画师们经常在曲线编辑器中指定角度随着时间变化。

        例子：变换的一个限制。假设你有一个虚拟扳手，正在拧螺帽，为了把螺丝拧紧，需要绕着x轴旋转扳手。你的输入设备（例如鼠标，虚拟手套等）会在这时候给出一个旋转矩阵。这个旋转有可能是错误的，因为仅需要绕x轴旋转。为了限制这个输入变换，只需要简单的提取出欧拉角h，p，r。然后创建一个新的矩阵。这样绕x轴旋转就变得很简单了。

4.2.3 矩阵分解

        到目前为止，都是建立在假设已知所用变换矩阵，实际上往往并非如此。例如 ，只知道串联而成的变换矩阵，但并不知道各具体变换。从串联矩阵上分解出多个变换，称为矩阵分解。

        分解矩阵的原因有很多：

        · 提取出物体的缩放因子。

        · 找出一些特定系统的变换。（例如一些系统不允许使用任意的4x4矩阵）。

        · 确定模型是否只进行了刚体变换。

        · 插值动画的关键帧。

        · 从旋转矩阵中去掉切变。

        已经提出了两种分解，一种是刚体变换中提取出平移矩阵和旋转矩阵，另外一种是从正交矩阵中提取出欧拉角。

        可见，分解矩阵很简单，只需要拿到4x4矩阵最后一列的元素即可。还可以通过判断行列式是否为负来检测是否发生了反射。而分解除旋转、缩放、切变稍微要复杂点。

4.2.4 绕任意轴旋转

        假设现在需要物体绕一个任意轴旋转。旋转轴为r，已归一化，旋转角度为。

        首先需要一个旋转矩阵M把物体转换到一个新的空间，在这个空间，转轴r变成了x轴。然后进行最终的旋转。最后利用逆矩阵变换回原来空间。这个过程如图4.8所示。

图4.8 绕任意轴r旋转。首先利用变换矩阵M找到正交基r，s，t。然后将这个正交基和标准基对齐，也就是r轴和x轴对齐，再进行旋转。最后利用M的逆矩阵转换回原本空间。

        为了计算出M，需要找出和r垂直并相互垂直的另外两个轴。只需要找出第二个轴s，第三个轴t就只需通过r和s叉乘得到了，。有一种比较稳妥的方法是找出r的最小分量（绝对值），然后将其设为0 。然后将剩余两个分量的其中一个取反。数学表达式如下：

这样保证了和是垂直的，（r,s,t）就是正交基。然后利用这三个向量构建出一个旋转矩阵。   

这个矩阵将向量r对齐到了x轴，s对齐到了y轴，t对齐到了z轴。那么，绕r旋转度就变成在新坐标系中对x轴旋转。

Goldman提出了另外一种绕任意归一化轴r旋转角度的方法。其中的变换公式如下：

 

4.3 四元数

        尽管四元数（ quaternions）在1843年就被Sir William Rowan Hamilton作为复数的扩展而发明出来，但直到1985年Shoemake才将其引入到计算机图形学中。四元数可以用来表示旋转和方向。它在很多方面是优于欧拉角和矩阵的。任何三维方向都可以表示为一个绕着特定轴旋转的单旋转。一旦有了这个特定轴和旋转角，那么转换成四元数或四元数转换成其他都变得很简单，而这对欧拉角无论哪种选择都是一个挑战。 四元数可以用于稳定和常数的方向插值，而这是欧拉角做不到的。

        复数分实部和虚部。每个部分都由两个实数表示，第二实数需要乘以。同样的，四元数有四个部分，前三个值和旋转轴紧密相关，旋转角度则对四个部分都有影响。 每个四元数由四个实数表示，每个实数对应一个不同的部分。由于四元数有四个分量，我们可以用向量的形式表示它，但是为了区分，我们加了一个帽子：。

4.3.1 数学背景

        下面先聊下四元数的定义。

        定义。四元数可以用下列方式定义，都是等价的。

变量被称为四元数的实部，而称为虚部，i，j，k称为虚部单元。

        对于虚部，我可以使用所有正常的向量运算，像加，缩放，点乘，叉乘等等。两个四元数和相乘，如下所示。需要注意，虚部单元的相乘是非交换的。

从上面的等式可以看出，用到了点乘和叉乘。

        根据四元数的定义，还可以给出四元数的加法（addition）、共轭复数（conjugate），范数（norm）和恒等式（identity）。

        对范数，虚部被消除，只剩下实部。范数有时候也用表示。通过上面的这些公式可以推导出四元数的逆。满足。从范数的定义推导出一个公式如下：

再推导出

四元数和常数的乘法满足交换律：

，，所以有。

        下面介绍下规则：

单位四元数，也就是。也可以写成：

其中三维向量有，因为

当且仅当。单位四元数是非常适合用于创建旋转和方向。

对于复数，一个2维单元向量可以写成。所以四元数可以表示为

        单位四元数的log函数和power函数如下：

4.3.2 四元数变换