[C++Rust]LeetCode No.1442 形成两个异或相等数组的三元组数目

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题目

思路分析

又是一道异或的题目。
我们再强调一下，异或的最重要的性质就是两个相同的数字异或是0
接下来看一下我们的这个数据量，不太适合暴力，如果按照题目的说法对(i, j, k)三元组进行遍历，复杂度就是$O(n^3)$，达到了$300^3=27000000$复杂度，这种已经很大了，很危险，很有可能过不了。这也是对于所有题目的一个小提示：如果复杂度达到$10^9$，就过不了了。
这个题目既然如此危险，不到万不得已就不写暴力算法。
此处说明一下优化的手段，一般来说O(n^2)的算法只能往O(n)和O(nlgn)进行优化，但这里我们观察了一下也没什么可以二分的办法，所以我们就用O(n)进行思考，既然是O(n)那么每一次查询都应该是O(1)的复杂度，有可能吗？
这里就要介绍一下前缀和的思想。
我们先思考一个跟本问题很像的一个问题，就是我们将本题中的异或换成加法。我们给入一个查询，查询的是数组中间某一段的和。为了在O(1)的时间应对每次查询，我们新建一个前缀和数组，称为prefix

如果我们获得了前缀和数组，对于每次查询都能在O(1)的时间返回，因为如果我们想要获得1至3之间的值（包含3），我们就用**prefix[3]-prefix[0]**就获得了1至3之间的值的和。

我们再仔细思考一下为什么是加法就可以这么做。以及换成异或之后我们应该如何做。
性质|加法+|异或^
–|--
逆操作|减法-|异或^
一顺一逆的结果|0+n-n=0|0ⁿn=0

现在我们可以知道为什么上述操作中我们会用prefix[3]减去prefix[0]，因为减法是加法的逆操作。而正因为一顺一逆的结果是0，这个前缀和才有它存在的意义。

我们仿照着加法设计出来我们的异或前缀和表

同样的，我们如果想获得nums中从1异或到3的值，我们只需要获取prefix[3]^prefix[0]，也是一个O(1)的操作。
我们再回到题目中的三元组来看一下，如何将前缀和应用到三元组的简化当中。

对于三元组(i, j, k)来说，
a = arr[i] ^ … ^ arr[j - 1]
= prefix[j - 1] ^ prefix[i - 1]
此处使用到了异或的性质

同理b = prefix[k] ^ prefix[j - 1]
所以我们继续推导，当a = b时，我们得出一个惊人的结论，就是prefix[k]=prefix[i-1]！
也就是说，当**prefix[k]=prefix[i-1]**时，我们可以获取k和i中包含的任意一点作为j，并且都是成立的！也就是说，我们确定了一个(k,i)对，就可以让答案加上一个k-i。

经过我们这么一番倒腾，题目啪的一下就变成了另外一个等价的题目。

新题目

给你一个整数数组arr
将其处理成异或前缀和prefix
在prefix数组中寻找下标二元组(i, j), 满足$i<j并且prefix[i]==prefix[j]$，每找到一对就让答案加上$j?i?1$，返回最终的答案。

新题目思路分析

经过一番倒腾，$O(n^3)$的复杂度一下子变成了$O(n^2)$，很开心啊！但这个题目，似乎还有优化的空间，因为经过我们处理的新题目看起来就是一个寻找相等数字的事情，似乎（如果加个哈希表），能够处理到$O(n)$的复杂度！啪的一下就站起来了，震惊了！这都可以？

Rust代码

use std::collections::HashMap;
impl Solution {pub fn count_triplets(arr: Vec<i32>) -> i32 {let n = arr.len();let mut cnt = HashMap::new();let mut total = HashMap::new();let mut ans = 0;let mut s = 0;for k in 0..n {let s_nxt = s ^ arr[k];if let Some(&cnt_val) = cnt.get(&s_nxt) {ans += cnt_val * k - *total.entry(s_nxt).or_insert(0);}*cnt.entry(s).or_insert(0) += 1;*total.entry(s).or_insert(0) += k;s = s_nxt;}ans as i32}
}

C++代码

class Solution {
    
public:int countTriplets(vector<int> &arr) {
    int n = arr.size();unordered_map<int, int> cnt, total;int ans = 0, s = 0;for (int k = 0; k < n; ++k) {
    int s_nxt = s ^ arr[k];if (cnt.find(s_nxt) != cnt.end()) {
    ans += cnt[s_nxt] * k - total[s_nxt];}++cnt[s];total[s] += k;s = s_nxt;}return ans;}
};