[C++Rust]LeetCode No.1049 最后一块石头的重量 II(每日一题)

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题目

有一堆石头，用整数数组 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 块石头的重量。

每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：

• 如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎；
• 如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。

最后，最多只会剩下一块 石头。返回此石头 最小的可能重量 。如果没有石头剩下，就返回 0。

示例 1：

输入：stones = [2,7,4,1,8,1]
输出：1
解释：
组合 2 和 4，得到 2，所以数组转化为 [2,7,1,8,1]，
组合 7 和 8，得到 1，所以数组转化为 [2,1,1,1]，
组合 2 和 1，得到 1，所以数组转化为 [1,1,1]，
组合 1 和 1，得到 0，所以数组转化为 [1]，这就是最优值。

示例 2：

输入：stones = [31,26,33,21,40]
输出：5

示例 3：

输入：stones = [1,2]
输出：1

提示：

• 1 <= stones.length <= 30
• 1 <= stones[i] <= 100

思路分析

这个题一开始我还不太会。
一开始想到的是dfs，也就是模拟题目中所说的场景，但复杂度过高，基本上达到了$O(30^{30})$，非常地不现实。

然后我就开始想dp，怎么dp感觉都不行。如果我们是二维dp，我们又怎么表示两块石头相减之后的那一小块呢？没法表示，也就没法dp

思路一时间陷入了瓶颈。

我又仔细地读了一遍题目。发现我们做的是这么一个事情。我们将石头看成棍子，假设有两根棍子一根长x，一根长y，我们同时拿一个东西去砍，如果两根长度相同，那么砍完就什么都不剩了，如果一根长一根短，剩的就是长的那根减去短的那根剩下来的值。

延伸一下思路，既然我们可以把两根棍子并在一起砍，那么我们可以把所有棍子捆在一起砍吗？当然可以。

我们将所有的棍子分成两堆。每堆首尾相接，总有个长度，相当于我之前砍完剩的y-x还能拿去继续砍。

最后长的那一边剩下的棍子的长度就是最终剩余的长度（或者没有）

所以说现在题目又变了，变成了如下形式
给你一个数组stones，每个值都代表一个石头的重量，我们将该数组的石头任意分成两组，求两组重量和的最小差值。

看到没！一个妥妥的背包问题。
就算你不知道是背包问题也没事，求最小差值的事情，完全不是最小差值。

我们首先假设左边为负，右边为正。因为我们最后要求的是差值，一个正一个负就正好可以免去计算。
我们首先获得所有stones中所有石头的和，称为sum
在结果等于sum的时候，是最极端的情况，就是所有石头都在右边，结果等于所有石头的和减去0也就是sum
在结果等于-sum的时候，也是最极端的情况，就是所有石头都在左边，结果等于0减去所有石头的和也就是-sum

我们该题用到的所有情况都位于[-sum,0]区间内，为了方便计算，我们将其映射到[0, sum + 1]的区间。

大家在这里又要发问了，为什么不是[-sum,sum]而是[-sum,0]呢，因为对于我们来说，大于0和小于0的部分一定是对称的，计算半边就行了。

我们这个计算的是能不能到达的情况，因为我们需要的只是能不能到达这种情况。

我们列个表给大家解释一下

递推式也很轻松

v[i + stone * 2] = v[i] || v[i + stone * 2];

然后我们最后去找离0最近的那个值，对应到[0,sum+1]中也就是最靠后的可以取到的值，就是我们最终的答案。

C++代码

class Solution {
    
public:int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) {
    int sum = 0;for (auto & stone : stones) sum += stone;vector<bool> v(sum + 1, false);v[0] = true;for (auto & stone : stones)for (int i = sum - stone * 2; i >= 0; --i)v[i + stone * 2] = v[i] || v[i + stone * 2];int res;for (int i = 0; i <= sum; ++i) if (v[i]) res = sum - i;return res;}
};

Rust代码

impl Solution {pub fn last_stone_weight_ii(stones: Vec<i32>) -> i32 {let sum = stones.iter().fold(0, |acc, x| acc + x) as usize;let mut v = vec![false; sum + 1];v[0] = true;for stone in stones {for i in (0..=(sum as i32 - stone * 2)).rev() {v[(i + stone * 2) as usize] = v[i as usize] || v[(i + stone * 2) as usize];}}for i in (0..=sum).rev() {if v[i] {return (sum - i) as i32;}}return sum as i32;}
}