密码学---公钥密码---数学知识

1.群、环、域

群、环、域都是代数系统(代数结构)。代数系统包括数学对象的集合以及在集合上采用的关系或运算(可以是单元运算、也可以是多元运算)
常用集合：

Q：有理数集合
I：整数集合
Z：正整数集合
R：实数集合
C：复数集合
Z_n：Z_n={0,1,2,3,…,n-1}，称Z_n为模n的同余类集合
M_n：I上的n*n方阵
R(x)：R(x)是所有实系数的多项式集合

详细介绍如下：

半群

设<G,×>是一个代数系统，×满足以下性质：

1. 封闭性。设×是集合S上的多元运算，对?a,b∈S,有a×b∈S，则称S对运算×是封闭的。若×是一元运算，对?a∈S,有×a∈S，则称S对运算×是封闭的
2. 结合律。若对?a,b,c∈S,有(a×b)×c=a×(b×c)，则称×满足结合律
   则称<G,×>是半群

群

设<G,×>是一个代数系统，×满足以下性质：

1. 封闭性
2. 结合律
3. 单位元。存在元素e，对?a∈G,有a×e=e×a=a；e称为<G,×>的单位元
4. 逆元。对?a∈G，存在元素a^-1，使得a×a^-1=a^-1×a=e；称a^-1为a的逆元
   则称<G,×>是群。其中若运算×已经明确了，则可以直接将<G,×>简记为G

群的种类

1.有限群和无限群：若集合G为有限集合，则称群<G,×>是有限群，否则是无限群。
2.Abel群/交换群：若群<G,×>中的运算×满足交换律，即对?a,b∈S,有a×b=b×a，则称<G,×>为交换群或者是Abel群
3.乘法群：若群群<G,×>中的运算×是乘法，则称之为乘法群
4.加法群：若群群<G,×>中的运算×是加法，则称之为加法群，此时逆元a^-1为-a
5.循环群：设有一个整数集合I和一个群<G,×>，若存在一个元素g∈G，对于每一个元素a∈G，都有一个相应的i∈I，使得a=gⁱ，则称<G,×>是循环群，g称为循环群的生成元。记G=<gⁱ|i∈I>。称满足方程a^m=e的最小正整数m为a的阶，记为|a|

群的阶数x

有限群中，G中的元素个数称为群的阶数

实例

<I,+>是Abel群，<Q,·>是Abel群

环

若代数系统<R,+,·>的二元运算+和·满足：

1. <R,+>是Abel群
2. <R,·>是半群
3. 乘法·在加法+上可分配，即对?a,b,c∈R，有a·(b+c)=a·b+a·c和(b+c)·a=b·a+c·a
   则称<R,+,·>是环

实例

<I,+,·>是环、<Z_n,+_n,×_n>，<M_n,+,·>，<R(x),+,·>是环

域

若代数系统<F,+,·>的二元运算+和·满足：

1. <F,+>是Abel群
2. <F-{0},·>是Abel群，其中0是+的单位元
3. 乘法·在加法+上可分配，即对?a,b,c∈R，有a·(b+c)=a·b+a·c和(b+c)·a=b·a+c·a
   则称<F,+,·>是域

域的分类

1.有限域和无限域：有限域是指元素个数有限的域，其中元素的个数称为域的阶；无限域则是指元素个数无限的域
2.Galois域：阶为素数的幂q的域称为Galois域，记为GF(q)或F_q。其中q=p^r，p是素数，r是自然数

多项式

不可约多项式：
F(x)是任意域F上的多项式集合(多项式的系数取自F)，若F(x)仅能被非0常数或者自身的常数倍除尽，但不能被其他多项式除尽的多项式

若多项式的系数取自以素数p为模的域F时，这样的多项式集合记为F_p[x]。若m(x)是F_p[x]上的n次不可约多项式，F_p[x]上多项式加法和乘法改为以m(x)为模的加法和乘法，此时的多项式集合记为F_p[x]/m(x)，集合中元素个数为pⁿ，则F_p[x]/m(x)是一个有限域GF(pⁿ)

实例

<Q,+,·>，<R,+,·>，<C,+,·>都是域
任意域F上的多项式(即系数取自F)集合F(x)在多项式加法和乘法运算下构成环。

2.素数、互素数

因子及相关性质

设a,b是两个整数，如果存在另一个整数m，使得a=mb，则称b整除a，记为b|a，并且称b是a的因子；具有下列相关性质：

1.若a|1，则a=+1或-1
2.若a|b且b|a，则a=+b或a=-b
3.对任一b(b≠0)，有b|0
4.若b|g，b|h，对任意的正整数m，n，都有b|(mg+nh)

素数及相关性质

若p只有+1，-1和p，-p这四个因子，则p为素数，否则p为合数；

整数分解的唯一性(任何一个整数都能分解为多个素数的乘积)：
任意一个整数a(a>1)都能唯一分解成以下形式:

其中p₁<p₂<…<p_n是素数，a_i≥0。两数相乘可以等价于对应的指数相加。

整数的分解实例

1.整数11011可被分解为如下：
11011=7×11²×13，也可由指数表示为{a₇=1，a₁₁=2，a₁₃=1}
2.整数24和45相乘可分成如下：
24=2³×3，可用指数表示成{a₂=3，a₃=1}
45=3²×5，可用指数表示成{a₃=2，a₅=1}
因此24×35={a₂=3，a₃=3，a₅=1}=2³×3³×5

互素数、gcd(a,b)、lcm(a,b)

互素数是指最大公因子为1的一对数据。可用gcd(a,b)=1表示。

gcd(a,b)表示a和b的最大公因子。由于公因子要求为正数，因此gcd(a,b)=gcd(-a,b)=gcd(a,-b)=gcd(-a,-b),因此一般gcd(a,b)=gcd(|a|,|b|)。

特例：由于0能被任何一个非0的数b整除，即b|0，因此有gcd(a,0)=a

lcm(a,b)表示a和b的最小公倍数

基于整数分解的唯一性可以用来求解gcd和lcm。如a=300，b=18，求gcd(a,b)和lcm(a,b).

解：有300=2²×3×5²，指数形式为{a₂=2，a₃=1，a₅=2},
18=2×3²，指数形式为{a₂=1，a₃=2}
则c=gcd(a,b)={a₂=1，a₃=1}=2×3=6
d=lcm(a,b)={a₂=2，a₃=2，a₅=2}=2²×3²×5²=600

3.模运算

称求余运算a mod n将整数a映射到集合{0,1,…,n-1}上的算术运算为模运算。求余运算符号为mod，可表示为a=n×b+r。其中r∈[0,n)，b=向下取整(a/n)，则r=(a mod n)

模n同余

若(a mod n)=(b mod n)，则称整数a，b模n同余，记为a≡b mod n。将与a模n同余的数的全体称为a的同余类，记为[a]，a为这个同余类的表示元素。
注意：若a≡0 (mod n)，则n|a

同余运算的性质

1.n|(a-b)与a≡b mod n等价
2.a≡b mod n，则b≡a mod n
3.a≡b mod n，b≡c mod n，则a≡c mod n
4.若a≡b mod n，d|n，则a≡b mod d
5.若a≡b mod n_i(i=1,2,…,k)，d=lcm(n₁,n₂,…,n_k,),则a≡b mod d

一般定义Z_n为小于n的所有非负整数集合，即Z_n={0,1,…,n-1}，称Z_n为模n的同余类集合，其上的模运算有以下性质：

1.交换律：(w+x)mod n=(x+w)mod n和(w×x)mod n=(x×w)mod n
2.结合律：[(w+x)+y]mod n=[w+(x+y)]mod n和[(w×x)×y]mod n=[w×(x×y)]mod n
3.分配律：[w×(x+y)]mod n=[(w×x)+(w×y)]mod n
4.单位元：(0+w)mod n=w mod n和(1×w)mod n=w mod n
5.加法逆元：对w∈Z_n，存在z∈Z_n，使得w+z≡0 mod n,记z=-w
6.加法的可约律：若(a+b)≡(a+c)mod n，则b≡c mod n

模运算性质

1. [(a mod n)+(b mod n)]mod n=(a+b) mod n
2. [(a mod n)-(b mod n)]mod n=(a-b) mod n
3. [(a mod n)×(b mod n)]mod n=(a×b) mod n

定理

Z_n^*中的每一个元素都有乘法逆元

实例

以下是Z₈上的模加法和模乘法，结果如下图所示：
，

4.模指数运算

模指数运算是用来计算给定正整数m，n，a^m mod n表达式的值。
当表达式a^m mod n=1 mod n时，满足等式的最小正整数m称为模n下a的阶，记为ord_n(a)

5.费尔马定理、欧拉定理、卡米歇尔定理

费尔马定理

费尔马定理内容：若p是素数，a是正整数且gcd(a,p)=1，则a^p-1≡1 mod p。
也可写成如下形式：设p是素数，a是任一正整数，则a^p≡a mod p。

欧拉函数及求解方法

设n是一正整数，小于n且与n互素的正整数的个数称为n的欧拉函数，记为φ(n)。如φ(6)=2(正整数为1,5)，φ(8)=4(正整数为1,3,5,7)

φ(n)的求法如下：

1.任n是素数，则φ(n)=n-1；
2.若n是两个素数p×q的乘积，则φ(n)=φ§×φ(q)=(p-1)×(q-1)
3.若n有标准的分解式(整数分解的唯一性中整数的表达方式)如下：

如φ(21)=φ(3)×φ(7)=2×6=12，φ(72)=φ(2³×3²)=72×(1-1/2)×(1-1/3)=24

欧拉定理

欧拉定理如下：若a和n互素，则a^φ(n)≡1 mod n
有如下推论：ord_n(a)一定是φ(n)的因子，即ord_n(a)|φ(n)。

本原根

若ord_n(a)=φ(n)，则称a为n的本原根。
注意：
1.若a是素数p的本原根，则a,a²,…,a^n-1mod p的值都不相同
2.本原根不唯一
3.不是所有的整数都有本原根，只有以下形式的整数才有本原根：2,4，p^a,2p^a(p为奇数)

卡米歇尔函数即求解方法

对满足gcd(a,n)=1的所有a，使得a^m≡1 mod n同时成立的最小正整数m，称为n的卡米歇尔函数λ(n)。即在ord_n(a)的基础上加了互素的条件

求解方法：

1.若a|b，则λ(a)|λ(b)
2.对任意互素的正整数a，b，有λ(ab)=lcm(λ(a),λ(b))
3.

具体解法如以下例子：

卡米歇尔定理

定理内容如下：若a和n互素，则a^λ(n)≡1 mod n

6.素性检验

素性检验的目的是为了检验给定的数据是否是素数。有爱拉托斯散(Eratosthenes)筛法、Miller-Rabin概率检测法、AKS算法等，下面将详细介绍以上三种算法的步骤。

爱拉托斯散筛法

我们都知道，如果对所有满足p≤ √n的素数p，都有p不整除n，则n一定是素数。爱拉托斯散筛法就是基于该定理产生的，但是在n很大时，不可行
基本过程(假设求不超过n的所有素数)：
1.先将2到n之间的所有整数A都列出
2.找到小于等于√n的所有整数
3.依次在A中删除小于等于√n的整数的倍数
4.剩下的整数即为所求的所有素数

Miller-Rabin概率检测法

前提：若p为大于2的素数，则方程x²≡1 (mod p)的解只有x ≡ 1和x ≡ -1，且其逆否命题也成立：如果方程x² ≡ 1 mod p有一个解x₀?{-1,1}，那么p不为素数。
该算法的流程如下所示：

AKS算法

AKS算法是一个确定性的素数判别算法，算法基于以下引理：
设n≥2的一个自然数，a∈I，gcd(a,n)=1，则n是素数的充要条件是：(X+a)ⁿ≡Xⁿ+a(mod n)
为了减少系数的计算，可在等式的两边同时对一个形如X^r-1的多项式取模，即将判断的等式进行变形，只需要判断如下等式是否成立即可：
(X+a)ⁿ≡Xⁿ+a(mod X^r-1,n)，表示在环Z_n[x]/(X^r-1)上，(X+a)ⁿ=Xⁿ+a
算法具体流程如下：

7.欧几里得算法

欧几里得算法的本质是反复使用辗转相除法，从而确定两个正整数的最大公因子的简化过程。推广的欧几里得算法不仅可求两个正整数的最大公因子，并且当两个正整数互素时，还可以求出其中一个数关于另一个数的乘法逆元

求最大公因子

欧几里得算法基于以下的结论：
设a，b是任意两个正整数，将它们的最大公因子gcd(a,b)简记为(a,b)，有以下重要结论(a,b)=(b,a mod b)

欧几里得算法的过程如下：

利用欧几里得算法求最大公因子的实例：

求乘法逆元

具体流程如下：

8.中国剩余定理

中国剩余定理的两个用途：
一是如果已知某个数关于一些两两互素的数的同余类集，就可重构这个数；二是可将大数用小数表示，大数的运算通过小数实现。

中国剩余定理的内容如下：

重构数据

重构数据是指已知该数据的某些信息，通过计算得到该数据的值。具体操作用一下示例：
假设已知数据x满足如下方程组：

求x的值。
求解步骤：
1.将3个余数写成和式的形式：2+3+2
2.为了满足第一个方程，模3后，后面2项消失，因此后两项需要乘3，依次类推，第1,3项乘5，第1,2项乘7，得到2·5·7+3·3·7+2·3·5
3.进行整理得到a=2·5·7·(5·7)^-1mod 3+3·3·7·(3·7)^-1 mod 5+2·3·5·(3·5)^-1 mod 7=2·5·7·2+3·3·7·1+2·3·5·1=233
4.计算M=3·5·7=105
5.计算a mod M=233 mod 105=23，因此x=23

大数计算分解为小数实现

前提：假设只能处理5以内的数，则15可以分解成35以内的数表示，即用一个35的矩阵表示，矩阵的行代表该数据mod 3的值，列代表该数据mod 5的值，因此1-15之间的数据还可表示如下所示：

如11模15可表示为(2,1)

大数计算分解为小数可以简化计算过程，使计算更加容易。
具体过程示例如下：
需要计算x=973 mod 1813+678 mod 1813的值。
步骤：
1.将973 mod 1813由模数分别为37和49的两个数表示，可取a₁=973 mod 37=11，a₂=973 mod 49=42，因此973模1813可用(11,42)表示，同理678模1813可用(12,41)表示
2.直接模加法运算得到x=(11,42)+(12,41)=(23,34)表示

9.离散对数

指标

指标的符号为ind_a,p(b)，含义是模p下以a为底b的指标
关于指标的定义如下：

设p是一个素数，a是p的本原根，则a，a²，a³，…，a^p-1产生出1到p-1之间的所有值，且每一个值只出现一次。因此对任意b∈{1,…,p-1}，都存在唯一的i(1≤i≤p-1),使得b≡aⁱ mod p。称i为模p下以a为底b的指标，记为i=ind_a,p(b)

关于指标的定理如下：

若a^z≡a^q mod p，其中p为素数，a是p的本原根，则有z≡q mod φ§

关于指标的实例如下：

关于指标性质的如下：

离散对数

离散对数的符号表示为i=log_a(b)(mod p)，含义是模p下以a为底b的离散对数。
离散对数的定义如下：
设p是素数，a是p的本原根，则a¹，a²，a³，…，a^p-1在mod p下产生1到p-1的所有值，所以对任意b∈{1,…,p-1}，有唯一的i∈{1,…,p-1}，使得b≡aⁱ mod p。称i为模p下以a为底b的离散对数，记为i=log_a(b)(mod p)。

当a，p，i已知时，用快速指数算法能比较容易地求出b，但是如果已知a、b和p，求i就会很困难，目前已知的求离散对数算法的时间复杂度为O(exp(lnp)^1/3ln(lnp))^2/3)，因此当p很大时，该算法不可行

10.平方剩余

平方剩余定义

设n是正整数，a是整数，满足gcd(a,n)=1，若方程x²≡a (mod n)有解，则称a是模n的二次剩余，否则称为二次非剩余

平方剩余的实例

则1,2,4是模7的二次剩余，且每个二次剩余都有两个平方根。

**注意：
1.若n是素数，则模n的二次剩余的个数为(n-1)/2个，非二次剩余个数为(n-1)/2个
2.若a是模n的一个二次剩余，那么x²≡a (mod n)有两个平方根，其中一个解x₁的范围在区间(0,(n-1)/2]，另一个解x₂的范围在区间((n-1)/2,n-1]
3.两个平方根中的一个解也是模n的二次剩余
**

Legendre符号

Legendre符号表示为(a/p).可用来判断平方剩余是否解。

设p是素数，a是一个整数，则Legendre符号(a/p)的定义如下：

除此之外，计算(a/p)有一个简单的公式，(a/p)=a^(p-1)/2 mod p

Legendre符号的性质如下：
设p是奇素数，a和b都不能被p除尽，则：

1.若a≡b mod p，则(a/p)=(b/p)
2.(ab/p)=(a/p)(b/p)
3.(a²/p)=1
4.(a+p/p)=(a/p)

定理如下：
1.当p≡q≡ 3 mod 4时，求解方程x²≡a (mod n) 与分解n是等价的。
2.当p≡q≡ 3 mod 4时，a mod n的两个不同的平方根u和w的Jacobi符号有如下关系：

Jacobi符号

Jacobi符号是Legendre符号的推广，设n是一个整数，且n用分解形式表示，因此定义Jacobi符号为：

当n为素数时，Jacobi符号就是Legendre符号

Jacobi符号的性质：
设n是正合数，a和b是与n互素的整数，则：

1.若a≡b mod n，则(a/n)=(b/n)
2.(ab/n)=(a/n)(b/n)
3.(ab²/n)=(a/n)
4.(a+n/n)=(a/n)

特殊的Jacobi符号有：

Jacobi符号的互反律：
设m，n均为大于2的奇数，则：

若m≡n≡ 3 mod 4，则(m/n)=-(n/m)；否则(m/n)=(n/m)

Jacobi符号与Legendre符号的区别在于Jacobi符号不表示方程x²≡a (mod n)是否有解

平方剩余的实例

11.循环群

这里主要介绍有关循环群的一些定理
Lagrange定理：有限群G的任意子群H的阶整除群的阶，即|H| | |G|
定理1：循环群的子群也是循环群
定理2：设G是n阶有限群，a是G中任一元素，有aⁿ=e
定理3：素数阶的群是循环群，且任一与单位元不同的元素是生成元
定理4：设a^r是n阶循环群G=<a,>中任意元素，d=gcd(n,r)，那么有：

定理5：在n阶循环群G=<a,>中，a^r是生成元当且仅当gcd(r,n)=1

12.双线性映射

双线性映射的定义：
设q是一大素数，G₁和G₂是两个阶为q的群，其上的运算分别称为加法和乘法。G₁到G₂的双线性映射e：G₁×G₁->G₂，满足下面的性质：

1.双线性：如果对任意P,Q,R∈G₁和a,b∈Z，有其中一条等式成立即可：

则称该映射为双线性映射

2.非退化性：映射不把G₁×G₁中的所有元素对(即序偶)映射到G₂中的单位元。即若P是G₁的生成元，那么e ?(P,P)就是G₂的生成元

3.可计算性：对任意的P,Q∈G₁，存在一个有效算法计算e ?(P,Q)