SVD奇异值分解（Singular Value Decomposition）

假设M是一个m×n阶矩阵，其中的元素全部属于域 K，也就是 实数域或复数域。如此则存在一个分解使得

其中U是m×m阶酉矩阵；Σ是半正定m×n阶对角矩阵；而V*，即V的共轭转置，是n×n阶 酉矩阵。这样的分解就称作M的奇异值分解。Σ对角线上的元素Σi,i即为M的奇异值。

常见的做法是为了奇异值由大而小排列。如此Σ便能由M唯一确定了。(虽然U和V仍然不能确定。)

直观的解释 [2]

在矩阵M的奇异值分解中 

·U的列(columns)组成一套对M的正交"输入"或"分析"的基向量。这些向量是MM*的特征向量。

·V的列(columns)组成一套对M的正交"输出"的基向量。这些向量是M*M的特征向量。

·Σ对角线上的元素是奇异值，可视为是在输入与输出间进行的标量的"膨胀控制"。这些是M*M及MM*的奇异值，并与U和V的列向量相对应。

奇异值和奇异向量, 以及他们与奇异值分解的关系

一个非负实数σ是M的一个奇异值仅当存在Km 的单位向量u和Kn的单位向量v如下 ：

其中向量u 和v分别为σ的左奇异向量和右奇异向量。

对于任意的奇异值分解

矩阵Σ的对角线上的元素等于M的奇异值. U和V的列分别是奇异值中的左、右奇异向量。因此,上述定理表明:

一个m × n的矩阵至多有 p = min(m,n)个不同的奇异值。

总是可以找到在Km 的一个正交基U，组成M的左奇异向量。

总是可以找到和Kn的一个正交基V，组成M的右奇异向量。

如果一个奇异值中可以找到两个左（或右）奇异向量是 线性相关的，则称为退化。

非退化的奇异值具有唯一的左、右奇异向量，取决于所乘的单位相位因子eiφ（根据实际信号）。因此，如果M的所有奇异值都是非退化且非零，则它的奇异值分解是唯一的，因为U中的一列要乘以一个单位相位因子且同时V中相应的列也要乘以同一个相位因子。

根据定义，退化的奇异值具有不唯一的奇异向量。因为，如果u1和u2为奇异值σ的两个左奇异向量，则两个向量的任意规范线性组合也是奇异值σ一个左奇异向量，类似的，右奇异向量也具有相同的性质。因此，如果M 具有退化的奇异值，则它的奇异值分解是不唯一的。

因为 U 和 V 向量都是单位化的向量, 我们知道 U的列向量 u1,..., um组成了 K空间的一组 标准正交基。同样， V的列向量 v1,..., vn也组成了 K空间的一组标准正交基(根据向量空间的标准点积法则).

线性变换 T:  K →  K，把向量 Nx变换为 Mx。考虑到这些标准正交基，这个变换描述起来就很简单了:  T( vi) =  σi ui, for  i = 1,...,min( m, n), 其中 σi 是对角阵Σ中的第 i个元素; 当 i > min( m, n)时， T( vi) = 0。

这样，SVD理论的几何意义就可以做如下的归纳：对于每一个线性映射 T:  K →  K， T把 K的第 i个基向量映射为 K的第 i个 基向量的非负倍数,然后将余下的基向量映射为零向量。对照这些基向量，映射 T就可以表示为一个非负对角阵。

1. 矩阵范数的概念 设A∈C m×n，定义一个实值函数||A||，若满足：

(1) 非负性：||A||≥0，且||A||=0当且仅当A=0； (2) 齐次性：||aA||=|a| ||A||，a∈C； (3) 三角不等式：||A+B||≤||A||+||B||，A,B∈ Cm×n; (4) 相容性：||AB||≤||A|| ||B||

则称||A||为A的矩阵范数。 例1 设A=(aij)∈C n×n，则

都是

定理2：由向量的1-范数、2-范数和∞-范数分别诱导出的矩阵范数分别是

通常依次称为列和范数、谱范数和行和范数。

定理3：谱范数和F-范数都是酉不变范数，即对于任意酉矩阵P和Q，有||PAQ||=||A||。