6 最小覆盖矩形（Smallest Rectangle Enclosing Black Pixels）

1 题目

??最小覆盖矩形（Smallest Rectangle Enclosing Black Pixels）

lintcode：题号——600，难度——hard

2 描述

??一个由二进制矩阵表示的图，0 表示白色像素点，1 表示黑色像素点。黑色像素点是联通的，即只有一块黑色区域。像素是水平和竖直连接的，给一个黑色像素点的坐标 (x, y) ，返回囊括所有黑色像素点的矩阵的最小面积。

??样例1：

输入：[“0010”,“0110”,“0100”]，x=0，y=2
输出：6
解释：

矩阵左上角坐标是(0, 1), 右下角的坐标是(2, 2)

??样例2：

输入：[“1110”,“1100”,“0000”,“0000”], x = 0, y = 1
输出：6
解释：

矩阵左上角坐标是(0, 0), 右下角坐标是(1, 3)

3 思路

??从答案反向找思路，要得到面积，需要横向跨度和纵向跨度，横向需要分别找到最左边和最右边，纵向需要分别找到最上面和最下面，题中给出了一个种子点，即其中一个黑子所在的位置，从种子点分别向上、下、左、右四个方向看，例如向左的情况，需要找到最左端的黑子，而最左端的黑子不一定与种子点在同一行，所以我们要考虑整个左半矩阵图，由于只要找到最左端的横向坐标即可，不用关心列坐标，可以将左半矩阵图纵向压缩进同一行，这样只要该列存在任何黑子，则将压缩后形成的点标记为黑，因为所有的黑子是联通的，最后向左看的情况一定会形成“oooxxx”形式的数列，使用二分法即可找到最左端边缘。
??按照相同的思路可以找到其他三个方向的边缘，然后得到横纵跨度，再得到面积。

1. 考虑左半矩阵，以每列是否存在黑子为条件，二分查找最左边缘；
2. 分别得到四个方向的边缘；
3. 计算横纵跨度，得到面积。

??扩展。

其实题目中给出的种子点有点奇怪，按照常理来判断给不给这个种子点的位置，都是能得到答案的，题中直接给出了，简化了这一步。题目也可以使用广度优先搜索来做，可以思考一下。

3.1 图解

输入：[“0000100”,“0111100”,“0001100”,“0011110”,“0000000”],
x = 2, y = 4
输出：20

3.2 时间复杂度

??算法在每一个方向使用一次二分法，假定矩阵图有m行n列，相同维度的二分法耗时可以整体来算，横向上二分法操作的时间复杂度为O(log n)，纵向上二分法操作的时间复杂度为O(log m)。
??横向的二分法每次判断都包含一次对列的遍历操作的时间复杂度O(m)，纵向的二分法每次判断都包含一次对行的遍历的时间复杂度O(m)。
??横向二分法总耗时O(m * log n)，纵向二分法总耗时O(n * log m)。
??算法的时间复杂度为O(m * log n + n * log m)，其中m为矩阵图的行数，n为矩阵图的列数。

3.3 空间复杂度

??算法的空间复杂度为O(1)。

4 源码

??注意事项：

1. 题目给出的种子点坐标(x, y)，x表示二维数组的行序号，y表示二维数组的列序号，所以x是纵向的距离，y是横向的距离，这点和直角坐标系的x方向和y方向刚好相反，很容易想歪，思路要清晰；
2. 求面积的时候，注意一个点代表一距离，不是一条边代表一距离。

??C++版本：

/*** @param image: 代表包含'0'和'1'为元素的二进制矩阵图* @param x: 初始黑点的纵坐标* @param y: 初始黑点的横坐标* @return: 最小覆盖矩形的面积*/
int minArea(vector<vector<char>> &image, int x, int y) {// write your code hereif (image.empty() || image.front().empty()) // 横纵都不能为空{return 0;}int maxRow = image.size() - 1;int maxColumn = image.front().size() - 1;// 计算四个方向最边缘点的下标int left = calLeftEdge(image, 0, y);int right = calRightEdge(image, y, maxColumn);int top = calTopEdge(image, 0, x);int bottom = calBottomEdge(image, x, maxRow);return (right - left + 1 ) * (bottom - top + 1);
}// 计算最左边缘黑点的横坐标
int calLeftEdge(vector<vector<char>> & image, int start, int end)
{int mid = 0;while (start + 1 < end){mid = start + (end - start) / 2;if (isColWhite(image, mid)){start = mid;}else{end = mid;}}if (isColWhite(image, start)){return end;}else{return start;}
}// 计算最右边缘黑点的横坐标
int calRightEdge(vector<vector<char>> & image, int start, int end)
{int mid = 0;while (start + 1 < end){mid = start + (end - start) / 2;if (isColWhite(image, mid)){end = mid;}else{start = mid;}}if (isColWhite(image, end)){return start;}else{return end;}
}// 计算最上边缘黑点的纵坐标
int calTopEdge(vector<vector<char>> & image, int start, int end)
{int mid = 0;while (start + 1 < end){mid = start + (end - start) / 2;if (isRowWhite(image, mid)){start = mid;}else{end = mid;}}if (isRowWhite(image, start)){return end;}else{return start;}
}// 计算最下边缘黑点的纵坐标
int calBottomEdge(vector<vector<char>> & image, int start, int end)
{int mid = 0;while (start + 1 < end){mid = start + (end - start) / 2;if (isRowWhite(image, mid)){end = mid;}else{start = mid;}}if (isRowWhite(image, end)){return start;}else{return end;}
}// 判断行中是否全为白点
bool isRowWhite(vector<vector<char>> & image, int row)
{for (int i = 0; i < image.front().size(); i++){if (image.at(row).at(i) == '1'){return false;}}return true;
}// 判断列中是否全为白点
bool isColWhite(vector<vector<char>> & image, int col)
{for (int i = 0; i < image.size(); i++){if (image.at(i).at(col) == '1'){return false;}}return true;
}