参数估计-最大似然估计、MAP及贝叶斯估计_综合

转自：http://blog.csdn.net/yangliuy/article/details/8296481

以PLSA和LDA为代表的文本语言模型是当今统计自然语言处理研究的热点问题。这类语言模型一般都是对文本的生成过程提出自己的概率图模型，然后利用观察到的语料数据对模型参数做估计。有了语言模型和相应的模型参数，我们可以有很多重要的应用，比如文本特征降维、文本主题分析等等。本文主要介绍文本分析的三类参数估计方法-最大似然估计MLE、最大后验概率估计MAP及贝叶斯估计。

1、最大似然估计MLE

首先回顾一下贝叶斯公式

$p(\theta|X) = \frac{p(X|\theta) \cdot p(\theta)}{p(X)}$

这个公式也称为逆概率公式，可以将后验概率转化为基于似然函数和先验概率的计算表达式，即

$posterior = \frac{likelihood \cdot prior}{evidence}$

最大似然估计就是要用似然函数取到最大值时的参数值作为估计值，似然函数可以写做

$L(\theta | X) = p(X | \theta) = \prod_{x \in X}{p(X = x | \theta)}$

由于有连乘运算，通常对似然函数取对数计算简便，即对数似然函数。最大似然估计问题可以写成

$\hat{\theta}_{ML} = argmax_\theta L(\theta | X) = argmax_\theta \sum_{x \in X}\log p(x|\theta)$

这是一个关于 $\theta$ 的函数，求解这个优化问题通常对 $\theta$ 求导，得到导数为0的极值点。该函数取得最大值是对应的 $\theta$ 的取值就是我们估计的模型参数。

以扔硬币的伯努利实验为例子，N次实验的结果服从二项分布，参数为P，即每次实验事件发生的概率，不妨设为是得到正面的概率。为了估计P，采用最大似然估计，似然函数可以写作

$\begin{aligned} L &= \log\prod_{i=1}^Np(C=c_i|p)=\sum_{i=1}^N\log p(C=c_i|p) \\ &= n^{(1)}\log p(C = 1|p) + n^{(0)}\log p(C = 0|p)\\ &= n^{(1)}\log p + n^{(0)}\log (1-p) \end{aligned}$

其中 $n^i$ 表示实验结果为i的次数。下面求似然函数的极值点，有

$\frac{\partial{L}} {\partial{p}} = \frac{n^{(1)}}{p} - \frac{n^{(0)}}{1-p} = 0$

得到参数p的最大似然估计值为

$\hat{p}_{ML} = \frac{n^{(1)}}{n^{(1)} + n^{(0)}} = \frac{n^{(1)}}{N}$

可以看出二项分布中每次事件发的概率p就等于做N次独立重复随机试验中事件发生的概率。

如果我们做20次实验，出现正面12次，反面8次

那么根据最大似然估计得到参数值p为12/20 = 0.6。

2、最大后验估计MAP

最大后验估计与最大似然估计相似，不同点在于估计 $\theta$ 的函数中允许加入一个先验 $p(\theta)$ ，也就是说此时不是要求似然函数最大，而是要求由贝叶斯公式计算出的整个后验概率最大，即

$\begin{aligned} \hat{\theta}_{MAP} &= argmax_\theta \frac{p(X | \theta) p(\theta)}{p(X)}\\ &= argmax_\theta p(X | \theta)p(\theta) \\ &= argmax_\theta \{L(\theta|X) + \log p(\theta)\}\\ &= argmax_\theta \{\sum_{x \in X} \log p(x | \theta) + \log p(\theta)\} \end{aligned}$

注意这里P（X）与参数 $\theta$ 无关，因此等价于要使分子最大。与最大似然估计相比，现在需要多加上一个先验分布概率的对数。在实际应用中，这个先验可以用来描述人们已经知道或者接受的普遍规律。例如在扔硬币的试验中，每次抛出正面发生的概率应该服从一个概率分布，这个概率在0.5处取得最大值，这个分布就是先验分布。先验分布的参数我们称为超参数(hyperparameter)即

$p(\theta)= p(\theta|\alpha)$

同样的道理，当上述后验概率取得最大值时，我们就得到根据MAP估计出的参数值。给定观测到的样本数据，一个新的值 $\tilde{x}$ 发生的概率是

$p(\tilde{x}|X) = \int_{\theta \in \Theta}p(\tilde{x}|\hat{\theta}_{MAP}) p(\theta | X) d\theta = p(\tilde{x}|\hat{\theta}_{MAP})$

下面我们仍然以扔硬币的例子来说明，我们期望先验概率分布在0.5处取得最大值，我们可以选用Beta分布即

$p(p|\alpha, \beta) = \frac{1}{B(\alpha, \beta)}p^{\alpha - 1}(1-p)^{\beta - 1} \stackrel{\triangle}{=}Beta(p|\alpha, \beta)$

其中Beta函数展开是

$B(\alpha, \beta) = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha + \beta)}$

当x为正整数时

$\Gamma(n) = (n-1)!\,$

Beta分布的随机变量范围是[0,1],所以可以生成normalised probability values。下图给出了不同参数情况下的Beta分布的概率密度函数

我们取 $\alpha = \beta = 5$ ,这样先验分布在0.5处取得最大值，现在我们来求解MAP估计函数的极值点，同样对p求导数我们有

$\frac{\partial \hat\theta_{MAP}}{\partial p} = \frac{n^{(1)}}{p}-\frac{n^{(0)}}{1-p}+\frac{\alpha - 1}{p}-\frac{\beta - 1}{1 - p} = 0$

得到参数p的的最大后验估计值为

$\hat{p}_{MAP} = \frac{n^{(1)} + \alpha - 1}{n^{(1)} + n^{(0)} + \alpha + \beta - 2} = \frac{n^{(1)} + 4}{n^{(1)} + n^{(0)} + 8}$

和最大似然估计的结果对比可以发现结果中多了 $\alpha -1 , \alpha + \beta -2$ 这样的pseudo-counts,这就是先验在起作用。并且超参数越大，为了改变先验分布传递的belief所需要的观察值就越多，此时对应的Beta函数越聚集，紧缩在其最大值两侧。

如果我们做20次实验，出现正面12次，反面8次，那么

那么根据MAP估计出来的参数p为16/28 = 0.571,小于最大似然估计得到的值0.6，这也显示了“硬币一般是两面均匀的”这一先验对参数估计的影响。

3 贝叶斯估计

贝叶斯估计是在MAP上做进一步拓展，此时不直接估计参数的值，而是允许参数服从一定概率分布。回顾一下贝叶斯公式

$p(\theta|X) = \frac{p(X|\theta) \cdot p(\theta)}{p(X)}$

现在不是要求后验概率最大，这样就需要求 $p(X)$ ,即观察到的evidence的概率，由全概率公式展开可得

$p(X) = \int_{\theta \in \Theta}p(X|\theta)p(\theta)d\theta$

当新的数据被观察到时，后验概率可以自动随之调整。但是通常这个全概率的求法是贝叶斯估计比较有技巧性的地方。

那么如何用贝叶斯估计来做预测呢？如果我们想求一个新值 $\hat{x}$ 的概率，可以由

$p(\hat{x}|X) = \int_{\theta \in \Theta} p(\hat{x} | \theta)p(\theta|X)d\theta=\int_{\theta \in \Theta}p(\hat{x}|\theta)\frac{p(X|\theta)p(\theta)}{p(X)}d\theta$

来计算。注意此时第二项因子在 $\theta \in \Theta$ 上的积分不再等于1，这就是和MLE及MAP很大的不同点。

我们仍然以扔硬币的伯努利实验为例来说明。和MAP中一样，我们假设先验分布为Beta分布，但是构造贝叶斯估计时，不是要求用后验最大时的参数来近似作为参数值，而是求满足Beta分布的参数p的期望，有

注意这里用到了公式

$\int_p\prod_{t=1}^{|T|}P_t^{\alpha_t - 1} = B(\alpha)$

当T为二维的情形可以对Beta分布来应用；T为多维的情形可以对狄利克雷分布应用

根据结果可以知道，根据贝叶斯估计，参数p服从一个新的Beta分布。回忆一下，我们为p选取的先验分布是Beta分布，然后以p为参数的二项分布用贝叶斯估计得到的后验概率仍然服从Beta分布，由此我们说二项分布和Beta分布是共轭分布。在概率语言模型中，通常选取共轭分布作为先验，可以带来计算上的方便性。最典型的就是LDA中每个文档中词的Topic分布服从Multinomial分布，其先验选取共轭分布即Dirichlet分布；每个Topic下词的分布服从Multinomial分布，其先验也同样选取共轭分布即Dirichlet分布。

根据Beta分布的期望和方差计算公式，我们有

可以看出此时估计的p的期望和MLE ，MAP中得到的估计值都不同，此时如果仍然是做20次实验，12次正面，8次反面，那么我们根据贝叶斯估计得到的p满足参数为12+5和8+5的Beta分布，其均值和方差分别是17/30=0.567, 17*13/(31*30^2)=0.0079。可以看到此时求出的p的期望比MLE和MAP得到的估计值都小，更加接近0.5。

综上所述我们可以可视化MLE,MAP和贝叶斯估计对参数的估计结果如下

个人理解是，从MLE到MAP再到贝叶斯估计，对参数的表示越来越精确，得到的参数估计结果也越来越接近0.5这个先验概率，越来越能够反映基于样本的真实参数情况。

参考文献

Gregor Heinrich, Parameter estimation for test analysis, technical report

Wikipedia Beta分布词条 , http://en.wikipedia.org/wiki/Beta_distribution