HDU多校第八场 1008 Andy and Maze —— 随机 + 状压DP

题目链接：点我啊╭(╯^╰)╮

题目大意：

    $n$ 个点 $m$ 条边的无向图，有边权
    选择一个包含 $k$ 个点的路径
    使得路径边权和最大

解题思路：

    可以枚举每个点 $DFS$，看样子不能过
    然后看题解发现了新东西：Color coding 问题
    用 $k$ 种颜色对每个点随机染色
    然后就可以状压 $DP$：
    $dp[i][s]$ 表示以 $i$ 为终止点，状态为 $s$ 的最大边权和
    $dp[u][s]=max(dp[u][s],dp[v][s$ ^ $col[u]]])$
    $dp[v][s]=max(dp[v][s],dp[u][s$ ^ $col[v]]])$
    表示如果 $(u,v)$ 有连边，保证每种颜色只取一种的情况下，相互更新

    这样答案所在的最长路径，合法情况有 $k!$ 种，全部情况有 $k^k$ 种
    所以成功的概率为 $\frac{k!}{k^k}$，期望次数为$\frac{k^k}{k!}$
    发现只需要尝试 $200$ 次所有就能成功
    时间复杂度：$O(\frac{k^k}{k!}\times 2^k\times m)$

核心：Color coding随机 + 状压DP

#include<bits/stdc++.h>
#define rint register int
#define deb(x) cerr<<#x<<" = "<<(x)<<'\n';
using namespace std;
typedef long long ll;
using pii = pair <int,int>;
const int maxn = 1e4 + 5;
int T, n, m, k;
int col[maxn], dp[maxn][100];
struct node{int u, v, w;
} e[maxn];int solve(){memset(dp, 128, sizeof(dp));for(int i=1; i<=n; i++) dp[i][col[i]] = 0;for(int s=1; s<1<<k; s++){for(int i=1; i<=m; i++){int u = e[i].u, v = e[i].v, w = e[i].w;if(s & col[u]) dp[u][s] = max(dp[u][s], dp[v][s ^ col[u]] + w);if(s & col[v]) dp[v][s] = max(dp[v][s], dp[u][s ^ col[v]] + w);}}int ret = 0;for(int i=1; i<=n; i++) ret = max(ret, dp[i][(1<<k)-1]);return ret;
}int main() {srand(time(0));scanf("%d", &T);while(T--){scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);for(int i=1; i<=m; i++) scanf("%d%d%d", &e[i].u, &e[i].v, &e[i].w);int ans = 0;for(int i=0; i<200; i++){for(int i=1; i<=n; i++) col[i] = 1 << (rand() % k);ans = max(ans, solve());}if(ans) printf("%d\n", ans);else puts("impossible");}
}