题意：一共有v间教室，e条有长度的双向通道，可能有重边和自环（v≤300，e≤90000）。n节课（n≤2000），每节课有两间教室可选，默认为c[i]，可申请更换为d[i]，申请要么通过要么不通过，通过的概率是p[i]，所有申请在开始所有课程之前提交。求提交的申请不超过m个的前提下，依次上完这n节课途经距离的期望的最小值。
考试时只有40分钟留给我做这一题了。个人的相关数学背景知识仅限于离散期望的定义。没有多想，来了个44分暴力。最后时间紧急，连大样例都没测。民间数据有的几十分，有的几分，这时我就知道写挂了……官方数据是20分。前几天忽然想起，我好像没有处理m个申请这个限制？看了一下源代码，果然如此QAQ 还有分，感谢当时那个随机数种子……
这道题有一个很明显的多阶段决策问题模型，我们可以采用动态规划技术。和背包问题类似，这两维是必须的：前i节课，不超过j个申请。这里定义为恰好j个申请也可以，我采用的是前者。
第i节课，要么申请更换，要么不申请。也许应该把这个决策纳入状态？可是上节课在哪里呢？如果申请上节课更换，有一定概率成功，一定概率不成功，如何计算转移的代价？
第i节课，要么在c[i]上，要么在d[i]上。把教室纳入状态，凑了几个意义不明的转移方程，开始写。写着写着放弃了……
瞥了一眼题解，不是很懂。但是灵光一现……为什么不分三类呢？不申请，申请且成功，申请且失败。嗯，看起来很靠谱。但是大样例WA。debug几处手误，依然WA。大概不是写挂了，于是又看了看题解，发现大家使用的是上述第一种状态定义。
不明白这样做的正确性，我想先搞明白分三类的错误性。问了一下当场做出此题的马老师，他说他当时也是先这么写的，发现不对，于是推翻重写做出正解Orz 他说，问题在于“所有的申请只能在学期开始前一次性提交”。从道理上来讲，应该就是这样，但我想知道分三类究竟是以何种方式影响了算法的正确性，计算出来的又是什么东西呢？
如果已知策略，求期望，分三类递推是正确的。然而，如果要做出决策，在多种决策之间取min，就会出问题：也许申请且成功的最优决策由上节课申请转移而来，而申请且失败的最优决策由上节课不申请转移而来；本节课向下节课转移时，上节课究竟是申请还是不申请呢？
去掉“一次性提交”的限制，这样做就对吗？值得商榷。我还没想清楚。
再来说说正解的正确性。我们要求的是路径长度的期望，不妨将路径长度拆成两部分：1~n-1和n-1~n。由期望的线性性质，两个变量之和的期望等于两个变量期望之和。这就是原理。
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cassert>
using namespace std;
const int MAX_N = 2000, MAX_M = 2000, MAX_V = 300, MAX_W = 100;
const double inf = 1e70;
int c[MAX_N+1][2], dis[MAX_V+1][MAX_V+1];
double p[MAX_N+1], f[MAX_N+1][MAX_M+1][2];template<typename T>
inline void relax(T& x, T v)
{x = min(x, v);
}inline int dist(int k, int s, int t)
{return dis[c[k-1][s]][c[k][t]];
}int main()
{int n, m, e, v;scanf("%d %d %d %d", &n, &m, &v, &e);for (int i = 0; i < 2; ++i)for (int j = 1; j <= n; ++j)scanf("%d", &c[j][i]);for (int i = 1; i <= n; ++i)scanf("%lf", &p[i]);for (int i = 1; i <= v; ++i)for (int j = 1; j <= v; ++j)dis[i][j] = MAX_W*MAX_V;for (int i = 1; i <= v; ++i)dis[i][i] = 0;for (int i = 0; i < e; ++i) {int a, b, w;scanf("%d %d %d", &a, &b, &w);relax(dis[a][b], w);relax(dis[b][a], w);}for (int k = 1; k <= v; ++k)for (int i = 1; i <= v; ++i)for (int j = 1; j <= v; ++j)relax(dis[i][j], dis[i][k] + dis[k][j]);for (int j = 0; j <= m; ++j)f[0][j][1] = inf;for (int i = 1; i <= n; ++i) {f[i][0][0] = f[i-1][0][0] + dist(i, 0, 0);f[i][0][1] = inf;for (int j = 1; j <= m; ++j) {f[i][j][0] = f[i][j-1][0];relax(f[i][j][0], min(f[i-1][j][0] + dist(i, 0, 0), f[i-1][j][1] + p[i-1]*dist(i, 1, 0) + (1-p[i-1])*dist(i, 0, 0)));f[i][j][1] = f[i][j-1][1];relax(f[i][j][1], min(f[i-1][j-1][0] + p[i]*dist(i, 0, 1) + (1-p[i])*dist(i, 0, 0),f[i-1][j-1][1] + p[i-1]*p[i]*dist(i, 1, 1) + p[i-1]*(1-p[i])*dist(i, 1, 0) + (1-p[i-1])*p[i]*dist(i, 0, 1) + (1-p[i-1])*(1-p[i])*dist(i, 0, 0)));}}printf("%.2f\n", min(f[n][m][0], f[n][m][1]));return 0;
}