3.5 线性方程组

1 齐次线性方程组

• $m$ 个方程 $n$ 个未知量的齐次线形方程组：
  $$?\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+?+a_{1n}{x}_n=0\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+?+a_{2n}{x}_n=0\\ ??\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+?+a_{mn}{x}_n=0\end{array}$$

• 向量形式：$x_1{\mathbf{\alpha }}_1+x_2{\mathbf{\alpha }}_2+?+x_n{\mathbf{\alpha }}_n=0$，其中
  $${\mathbf{\alpha }}_j=?\begin{array}{c}{a}_{1j}\\ a_{2j}\\ ?\\ a_{mj}\end{array}?,j=1,2,?,n.$$

• 矩阵形式：${\mathbf{A}}_{\mathbf{m}\times \mathbf{n}}\mathbf{x}=0$，其中
  $$\mathbf{A}=?\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{21}& ?& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ?& a_{2n}\\ ?& ?& & ?\\ a_{m1}& a_{m2}& ?& a_{mn}\end{array}?,\mathbf{x}=?\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ?\\ x_n\end{array}?.$$

1.1 有解的条件

• 当 $r(\mathbf{A})=n$ 时（${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,?,{\mathbf{\alpha }}_n$ 线性无关），方程组有唯一 0?? 解；
• 当 $r(\mathbf{A})=r<n$ 时（${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,?,{\mathbf{\alpha }}_n$ 线性相关），方程组有非 0?? 解，且有 $n?r$ 个线性无关解。

1.2 解的性质

若 $\mathbf{A}{\mathbf{\xi }}_1=0$，$\mathbf{A}{\mathbf{\xi }}_2=0$，则 $\mathbf{A}(k_1{\mathbf{\xi }}_1+k_2{\mathbf{\xi }}_2)=0$，其中 $k_1,k_2$ 是任意常数。

1.3 基础解系和通解

1. 基础解系：设 ${\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,?,{\mathbf{\xi }}_{n?r}$ 满足：1?? 是方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 的解；2?? 线性无关；3?? 方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 的任一解均可由 ${\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,?,{\mathbf{\xi }}_{n?r}$ 线性表出，则称 ${\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,?,{\mathbf{\xi }}_{n?r}$ 是方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 的基础解系。
2. 通解：设 ${\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,?,{\mathbf{\xi }}_{n?r}$ 是方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 的基础解系，则 $k_1{\mathbf{\xi }}_1+k_2{\mathbf{\xi }}_2+?+k_{n?r}{\mathbf{\xi }}_{\mathbf{n}?\mathbf{r}}$ 是方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 的通解，其中 $k_1,k_2,?,k_{n?r}$ 是任意常数。

1.4 解法

1. 系数矩阵 $\mathbf{A}$ ?? 最简阶梯型矩阵 $\mathbf{B}$（初等行变换），记 $r=r(\mathbf{A})=r(\mathbf{B})$。
2. 按列找出一个秩为 $r$ 的子矩阵，剩余列位置的未知数设为自由变量。
3. 按基础解系定义求出 ${\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,?,{\mathbf{\xi }}_{n?r}$ 并写出通解。

2 非齐次线性方程组

• $m$ 个方程 $n$ 个未知量的非齐次线形方程组：
  $$?\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+?+a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+?+a_{2n}{x}_n=b_2\\ ??\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+?+a_{mn}{x}_n=b_m\end{array}$$

• 向量形式：$x_1{\mathbf{\alpha }}_1+x_2{\mathbf{\alpha }}_2+?+x_n{\mathbf{\alpha }}_n=\mathbf{b}$，其中
  $${\mathbf{\alpha }}_j=?\begin{array}{c}{a}_{1j}\\ a_{2j}\\ ?\\ a_{mj}\end{array}?,j=1,2,?,n,\mathbf{b}=?\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ?\\ b_m\end{array}?.$$

方程组的未知数就是向量组中各向量的系数。方程组和向量组是同一个问题的两种表现形式，其本质一样，所以解决方法也一样。

• 矩阵形式：$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$，其中
  $$\mathbf{A}=?\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{21}& ?& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ?& a_{2n}\\ ?& ?& & ?\\ a_{m1}& a_{m2}& ?& a_{mn}\end{array}?,\mathbf{x}=?\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ?\\ x_n\end{array}?.$$

• 矩阵 $\mathbf{A}$ 的增广矩阵：
  $$[\mathbf{A},\mathbf{b}]=[{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,?,{\mathbf{\alpha }}_n,\mathbf{b}]=?\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{21}& ?& a_{1n}& b_1\\ a_{21}& a_{22}& ?& a_{2n}& b_2\\ ?& ?& & ?& ?\\ a_{m1}& a_{m2}& ?& a_{mn}& b_m\end{array}?$$

2.1 有解的条件

• 若 $r(\mathbf{A})?=r([\mathbf{A},\mathbf{b}])$ （$\mathbf{b}$ 不能由 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,?,{\mathbf{\alpha }}_n$ 线性表出），则方程组无解；
• 若 $r(\mathbf{A})=r([\mathbf{A},\mathbf{b}])=n$ （即 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,?,{\mathbf{\alpha }}_n$ 线性无关，${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,?,{\mathbf{\alpha }}_n,\mathbf{b}$ 线性相关），则方程组有唯一解；
• 若 $r(\mathbf{A})=r([\mathbf{A},\mathbf{b}])=r<n$ ，则方程组有无穷多解。

2.2 解的性质

• 设 ${\mathbf{\eta }}_1,{\mathbf{\eta }}_2,\mathbf{\eta }$ 是非齐次线性方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的解，$\mathbf{\xi }$ 是对应齐次线性方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 的解，则：
  • ${\mathbf{\eta }}_1?{\mathbf{\eta }}_2$ 是 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 的解；
  • $k\mathbf{\xi }+\mathbf{\eta }$ 是 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的解。

2.3 解法

• 增广矩阵 ?? 最简阶梯型矩阵（初等行变换）
• 对应齐次线性方程组的通解 ? 一个非齐次线性方程组的特解 ?? 非齐次线性方程组的通解

3 线形方程组有解的条件

4 方程组的几何应用

4.1 平面

设空间中 $m(m\ge 2)$ 张平面 ${\pi }_i:A_{i}x+B_{i}y+C_{i}z+D_i=0(i=1,2,?,m)$，有：

1. ${\pi }_i(i=1,2,?,m)$ 无公共点 ?? $r(\mathbf{A})?=r(\bar{\mathbf{A}})$
2. ${\pi }_i(i=1,2,?,m)$ 相交于一点 ?? $r(\mathbf{A})=r(\bar{\mathbf{A}})=3$
3. ${\pi }_i(i=1,2,?,m)$ 相交于一直线 ?? $r(\mathbf{A})=r(\bar{\mathbf{A}})=2$
4. ${\pi }_i(i=1,2,?,m)$ 重合 ?? $r(\mathbf{A})=r(\bar{\mathbf{A}})=1$

其中
$$\mathbf{A}=?\begin{array}{ccc}{A}_1& B_1& C_1\\ A_2& B_2& C_2\\ ?& ?& ?\\ A_m& B_m& C_m\end{array}?,\bar{\mathbf{A}}=?\begin{array}{cccc}{A}_1& B_1& C_1& ?D_1\\ A_2& B_2& C_2& ?D_2\\ ?& ?& ?& ?\\ A_m& B_m& C_m& ?D_m\end{array}?.$$

4.2 直线

设平面上 $m(m\ge 2)$ 条直线 $l_i:a_{i}x+b_{i}y+c_i=0(i=1,2,?,m)$，有：

1. $l_i(i=1,2,?,m)$ 无公共点 ?? $r(\mathbf{A})?=r(\bar{\mathbf{A}})$
2. $l_i(i=1,2,?,m)$ 相交于一点 ?? $r(\mathbf{A})=r(\bar{\mathbf{A}})=2$
3. $l_i(i=1,2,?,m)$ 重合 ?? $r(\mathbf{A})=r(\bar{\mathbf{A}})=1$

其中
$$\mathbf{A}=?\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\\ ?& ?\\ a_m& b_m\end{array}?,\bar{\mathbf{A}}=?\begin{array}{ccc}{a}_1& a_1& ?c_1\\ a_2& b_2& ?c_2\\ ?& ?& ?\\ a_m& b_m& ?c_m\end{array}?.$$