2.6 矩阵的秩

1 定义

• 矩阵中最高阶非零子行列式的阶数称为矩阵的秩，记为 $r(\mathbf{A})$。
• 若存在 $k$ 阶子行列式不为0??，任意 $k+1$ 阶子行列式（如果有的话）全为0??，则 $r(\mathbf{A})=k$。
• $r({\mathbf{A}}_{n\times n})=n$ ?? $|\mathbf{A}|?=0$ ?? $\mathbf{A}$ 可逆

2 本质

• 组成该矩阵的线形无关向量的个数

3 初等变换不改变矩阵的秩

• 设 $\mathbf{A}$ 是 $m\times n$ 矩阵，$P$ 和 $Q$ 分别是 $m$ 阶和 $n$ 阶可逆矩阵，则 $r(\mathbf{A})=r(\mathbf{P}\mathbf{A})=r(\mathbf{A}\mathbf{Q})=r(\mathbf{P}\mathbf{A}\mathbf{Q})$。

4 有关秩的等式和不等式

1. A: 0≤r(A)≤min?{m,n}0\leq r(\boldsymbol{A})\leq \min\{m,n\}0≤r(A)≤min{ m,n}
2. A+B: $r(\mathbf{A}+\mathbf{B})\le r(\mathbf{A})+r(\mathbf{B})$
3. k: $r(k\mathbf{A})=r(\mathbf{A})(k?=0)$
4. AB: r(A)+r(B)?n≤r(AB)≤min?{r(A),r(B)}r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B})-n\leq r(\boldsymbol{AB})\leq\min\{r(\boldsymbol{A}),r(\boldsymbol{B})\}r(A)+r(B)?n≤r(AB)≤min{ r(A),r(B)}，当 $\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{O}$，$r(\mathbf{A})+r(\mathbf{B})\le n$，$n$ 是 $\mathbf{A}$ 的列数或 $\mathbf{B}$ 的行数。
5. T: $r(\mathbf{A})=r({\mathbf{A}}^T)=r(\mathbf{A}{\mathbf{A}}^T)=r({\mathbf{A}}^T\mathbf{A})$
6. -1: $\mathbf{A}$ 为 $n$ 阶方阵，$r({\mathbf{A}}^{?1})=r({\mathbf{A}}^{?})$
7. *: $\mathbf{A}$ 为 $n$ 阶方阵，$r({\mathbf{A}}^{?})=?\begin{array}{l}n,r(\mathbf{A})=n\\ 1,r(\mathbf{A})=n?1\\ 0,r(\mathbf{A})<n?1\end{array}$
8. AOOB: $r\left(\left[\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& \mathbf{B}\end{array}\right]\right)=r(\mathbf{A})+r(\mathbf{B})$
9. AOCB: $r(\mathbf{A})+r(\mathbf{B})\le r\left(\left[\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{O}\\ \mathbf{C}& \mathbf{B}\end{array}\right]\right)\le r(\mathbf{A})+r(\mathbf{B})+r(\mathbf{C})$
10. A^2=A: 若 $\mathbf{A}$ 为 $n$ 阶方阵并且 ${\mathbf{A}}^2=\mathbf{A}$，则 $r(\mathbf{A})+r(\mathbf{E}?\mathbf{A})=n$。
11. A^2=E: 若 $\mathbf{A}$ 为 $n$ 阶方阵并且 ${\mathbf{A}}^2=\mathbf{E}$，$r(\mathbf{A}+\mathbf{E})+r(\mathbf{A}?\mathbf{E})=n$。
12. $r(\mathbf{A})\le r([\mathbf{A},\mathbf{\alpha }])\le r\left(\left[\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{\alpha }\\ {\mathbf{\alpha }}^{\mathbf{T}}& 0\end{array}\right]\right)$