2.5 初等变换、线性变换

1 初等变换

1. 一个非零常数乘矩阵的某一行（列）；（倍乘）
2. 互换矩阵中某两行（列）的位置；（互换）
3. 将矩阵的某一行（列）的 $k$ 倍加到另一行（列）。（倍加）

1.1 初等矩阵

由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。

1. ${\mathbf{E}}_2(k)=?\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& k& 0\\ 0& 0& 1\end{array}?$，$\mathbf{E}$ 的第 $2$ 行（或第 $2$ 列）乘 $k$ 倍，称为倍乘初等矩阵。
   定义：${\mathbf{E}}_i(k)(k?=0)$ 表示单位矩阵 $\mathbf{E}$ 的第 $i$ 行（或第 $i$ 列）乘以非零常数 $k$ 所得的初等矩阵。
2. ${\mathbf{E}}_{12}=?\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}?$，$\mathbf{E}$ 的第 $1,2$ 行（或第 $1,2$ 列）互换，称为互换初等矩阵。
   定义：${\mathbf{E}}_{ij}$ 表示单位矩阵 $\mathbf{E}$ 交换第 $i$ 行与第 $j$ 行（或第 $i$ 列与第 $j$ 列）所所得的初等矩阵。
3. ${\mathbf{E}}_{31}(k)=?\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ k& 0& 1\end{array}?$，$\mathbf{E}$ 的第 $1$ 行的 $k$ 倍加到第 $3$ 行（或第 $3$ 列的 $k$ 倍加到第 $1$ 列），称为倍加初等矩阵。
   定义：${\mathbf{E}}_{ij}(k)$ 表示单位矩阵 $\mathbf{E}$ 的第 $j$ 行的 $k$ 倍加到第 $i$ 行（或第 $i$ 列的 $k$ 倍加到第 $j$ 列）所得的初等矩阵。

1.2 初等矩阵的性质

1. 初等矩阵的转置仍是初等矩阵。
2. 初等矩阵都是可逆矩阵，且其逆矩阵仍是同一类型的初等矩阵，即 $[{\mathbf{E}}_i(k){]}^{?1}={\mathbf{E}}_i(\frac{1}{k}),{\mathbf{E}}_{ij}^{?1}={\mathbf{E}}_{ij},{\mathbf{E}}_{ij}(k{)}^{?1}={\mathbf{E}}_{ij}(?k)$。
3. 若 $\mathbf{A}$ 是可逆矩阵，则 $\mathbf{A}$ 可以表示成有限个初等矩阵的乘积，即 $\mathbf{A}={\mathbf{P}}_1{\mathbf{P}}_2?{\mathbf{P}}_s$，其中 ${\mathbf{P}}_1,{\mathbf{P}}_2,?,{\mathbf{P}}_s$是初等矩阵。
4. 对 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 进行初等行变换，相当于矩阵 $\mathbf{A}$ 左乘相应的初等矩阵；同样，对 $\mathbf{A}$ 进行初等列变换，相当于矩阵 $\mathbf{A}$ 右乘相应的初等矩阵。

2 线性变换

• 线性变换：对于 $n$ 元二次型 $f(x_1,x_2,?,x_n)$，若令 $?\begin{array}{l}{x}_1=c_{11}{y}_1+c_{12}{y}_2+?+c_{1n}{y}_n\\ x_2=c_{21}{y}_1+c_{22}{y}_2+?+c_{2n}{y}_n\\ ?\\ x_n=c_{n1}{y}_1+c_{n2}{y}_2+?+c_{nn}{y}_n\end{array}$，记 $\mathbf{x}=?\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ?\\ x_n\end{array}?,\mathbf{C}=?\begin{array}{cccc}{c}_{11}& c_{12}& ?& c_{1n}\\ c_{21}& c_{22}& ?& c_{2n}\\ ?& ?& & ?\\ c_{n1}& c_{n2}& ?& c_{nn}\end{array}?,\mathbf{y}=?\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ?\\ y_n\end{array}?$，则上式可写为 $\mathbf{x}=\mathbf{C}\mathbf{y}$，上式称为从 $y_1,y_2,?,y_n$ 到 $x_1,x_2,?,x_n$ 的线性变换。
• 若线性变换的系数矩阵 $\mathbf{C}$ 可逆，则 $\left|\begin{array}{c}\mathbf{C}\end{array}\right|?=0$，则称为可逆线性变换。