表示很喜欢这个问题，深有同感！这个问题也让我这种杂家谈谈想法吧，看题主应该是骨骼精奇的奇才，我假想读者是“小学生”，所以，觉得我啰嗦的大大，忍忍吧，欢迎讨论。
先说回答，再说废话。
我深以为然，觉得题主真是个人才。我的观点，觉得他们是一样的，原因是，函数，矩阵等等数学语言都是不同大牛采用不同数学建模方式描述真实系统里面可观测量之间的变换规律的不同“数学方言”，他们肯定可以互相“翻译转化”------比如看后面的Flourier例子！再说个比较物理的看这个问题的观点，这些“数学方言都是在描述真实的物理世界的可观测量之间的变换规律”。物理基本假设就是实验得到的一个不讲道理的假设，科学不理会所谓的本质，只研究可观测量之间的变换关系，所谓的本质是假设出来的！“牛顿三大定律就是假设出来定理假设基石”。分析力学又假设”最小作用原理“，然后解两个方程。电磁学的”麦克斯韦方程“进一步又有了其他的假设并且在这些假设的基本公理上建立理论体系。爱因斯坦假设光速不变。普朗克假设量子化。量子理论态函数，不确定原理的假设也就那几条。标准理论假设“各种规范对称性”。弦理论假设的是“弦”。多世界理论假设的是“多世界”。然后，把各种假设写成数学语言建模描述好的方程，比如分析力学那两个方程，然后进行数学推导恒等变换，在演算纸上模拟世界运作的规律！数学原理是为了描述“自然哲学------世界运作的规律”。
--------------下面使我对这个问题的一些思考，一个不小心又写成长篇大论---------------------
我以前总是喜欢问，这公式的本质是什么？比如说“力”，它的本质是什么？实际上谁也不知道为什么大自然的活动遵循这些个假设（大概因为大自然里这个实验是对的，那这个描述这个实验现象的数学语言出发，演算出来的世界也是自洽的吧）？举个例子，牛顿甚至没有强调力这个概念，他强调动量，但是动量又是什么呢？这大概是描述那一种实验现象牛顿编出来的词吧，如果他乐意把那种现象命名为“屎”而且后人也沿用他的说法称呼那个实验的那种抽象出来的“所谓的动量的那个实验现象”，那又有人问了，这个“屎的本质是什么？”我觉得只是一种对自然这种现象描述的一个词语，那这个实验现象的本质又是什么呢？抱歉，哲学家才管所谓的本质，物理学家找到一个又一个更加简化，更加满足新的实验现象和“实验制支撑的物理假设”，用数学语言翻译基本假设，然后演算整个世界，解析这个世界。我觉得系统的函数，或者说矩阵特征根的本质是因为广义的系统输入输出满足等式：“输入可观测量*（假设出来黑箱子一样的的系统传递函数（也可写成矩阵形式的状态方程））=输出可观测量，即XiG(s)=Xo,看惯函数的可以写成f（Xi）=Xo”),看惯矩阵的可以写成D（Xi向量）=Xo向量”)，不一而足，反正可以写成各种可以互相“翻译”的不同大牛对同一物理现象的建模的“数学方言”。
那么一个很重要的步骤出现了，移项！把系统作用在输入得到输出这个广义系统移到一边去研究。
举个例子，大学物理，我学相对论的时候很不明白这到底是在干什么，为什么x2+y2+Z3=ct2可以强行移项？x2+y2+Z3-ct2=F（x,y,z,it）=0=x2+y2+Z3+(cit)2。我是真的存疑，为什么要来个i?但是后来我想明白了，这里定义一个独立信息t,因为三维坐标已经被xyz轴占据了，所以我们编出来一个i轴来“存储”第四自由度的信息。我还有一种理解方法，X(t),Y(t)Z(t)参数方程一共4个量，t自变量变换下因变量XYZ随之而变，我们把ti得到第四自由度的数字，然后移项就出来了，直接研究F(XYZ，it)=0的变化特性就是相对论研究的四维空间了，这等式当然守恒，不同惯性坐标系下怎么理解这个？我还没想明白。在这里对应的是输入------这个操作你可以在下面Flourier变换引入复数的建模思路中看到。四元数（Quaternions）是ai+bj+ck+d，直接类比复数存数据方式，发现竟然能和一些现有的运算理论自洽，真的玩的不要不要的，计算机的人也就用它来游戏建模处理个“旋转问题”，但是这个深入来说，玩四元数的大概还是大有人在的吧。
数学本来就是描述自然运作规律的语言，知识不同大牛想法不一样，数学建模的角度不一样，甚至有的人对基本真实量的抽象都不一样，产生了很多描述同样一个世界的不同“方言”，代数语言就像是英语影响似乎最大推演似乎最快，当然就像编程语言一样没有任何可比性，认为任何一种数学语言都有他现成的“轮子知识”和他最擅长解决的问题，遇到什么问题用什么就好，“小云和小吉都很重要”，方程和函数，或者其他数学语言建模方式之间的等价转换就是在“翻译”不同数学描述方式下或者相同数学描述方式不同坐标下的“等价问题”------比如同一个现实控制系统的问题的可观测量可以在复域研究也可以在时域研究，在当初学线代微积分的时候我就觉得他们不都是在研究几何吗？很形象！
1，为了“存起来”被研究量
有人存成实数集合，有人用复数表示二维向量或者二元信息的量，也有人用四元数，更有人存成多维向量，几何结构，图论，网络等等“不同的对真实抽象出来建模描述的结构------代数结构，群环域等”，我比较喜欢把它理解成计算机里的数据结构。比如量子力学用“态函数”描述一个真实状态，然后进行无维的线性代数操作来“描述”那个Y方向来的电子在X方向偏转之后Z方向偏转就“忘记了自己X偏转过”的奇怪实验现象。然后利用一些实验结论得到一些规律，推出一些定理，哪怕量子力学是反直觉的，但是他的理论公式建模描述的现实现象依据来自于最开始推出来这个表达方式的数学公式的“物理实验”，只要这个实验没被推翻，中间恒等变换过程没有算错，那推出来的预想实验就应该是对的，就可以试着在做一个物理实验“验证这个推论”。实验不符合没说明中间推导的恒等变换过程中算错“引用了非法的运算操作”------所以我们需要分析学需要研究哪些步骤的变换是“非法的”这也是数学严谨性最美最正确的地方，或者“用来描述基本实验现象而假设的基本假设的定律（比如牛顿定律）不适用，这才需要为了满足新的实验现象引入新的数学描述方法，加个物理定律假设，比如量子化假设”。但是因为科学是要“自洽”的，你新物理理论一定要符合一些旧物理理论描述的自然运作的规律，致敬牛顿那本用流数研究几何的书请允许我下文把这个自然运作的规律称为自然哲学。所以，相对论低速运动的时候的结果要和牛顿的理论一样，我们就能从低维仰望高维空间能从低维切片中推导出一些高维的结论，从一个降维之后的矩阵空间变换中推导出高维的线性变换。类似的，如果这个世界是自洽的理论研究的，那么描述自然哲学的数学原理就应该也是自洽的，实数域低维的研究应该可以说是高维的复数域的投影，正如复数应该是超复数（四元数）的二维投影。所以历史上意大利数学家，吉罗拉莫·卡尔达诺在《大术》中（这本书首次记载了一元三次方程的完整解法）求解微分的时候引入了一个复数来帮助解决方程，他当时只以为是数学技巧，没想到掀开了巨幕的一角，欧拉高斯柯西一堆大牛轮番上阵，黎曼猜想那篇薄薄的却略去一些中间过程还要被后来数学家研究老半天的论文也诞生了，复数延拓就是利用那个美妙的函数性质，也许是因为从自然出发的数学在草稿纸上推演世界的过程太迅速了，以至于数学是领先100年的科学！那些应用科学都用不过来，但是我感觉，不存在没有用的数学，只存在暂时还不会用的数学！都是满足自然规律抽象出来的，一定就能用的上！
举个例子，数学推导出来的东西我想肯定是能够“真实”模拟的，但是不需要，因为太费劲了，我们只需要能用数学解决问题就行！因为是工科学校，也曾经做过一个克莱因瓶的犀牛模型在学校开放性实验打印了出来。我最近特别想要一个“纯机械计算器”，但是穷癌使我冷静，我觉得组成它的加法器，莱布尼茨梯形轴和奥涅尔齿轮组件也不错，虽然我还不懂它的原理，但是估计就是机械控制想要的传递函数这个数学公式的“物理实现”过程吧，想入手。
举个例子：比如我觉得对数运算真的太美妙了，一方面Bode图线性叠加完美体验他的方便，以至于收藏了一把对数尺，觉得真的很巧妙。另一方面因为我感觉这个很能佐证我的一个一次做习题的时候的想法：所有数学技巧里面的换元，其实就是把函数变换的规律“作用到”坐标轴的度规–改变坐标轴的度量单位换个眼光看世界，使你研究的问题得到简化，或者说把原来不能求解的一些问题变换到能求解的“坐标系下”从而有解！那个习题就是，令Z`=Z/(22Inf）换元，把Z坐标无限拉长，就能把一个不能求解答问题换个坐标转化为求解一个可以求解的恒等变换的题目并且得到那个积分结果！我当时就想，如果现实生活中我们的观测量的问题使那个不可解的问题的话，我们就可以通过各种“恒等变换”变成可解的问题然后求得要的结果或者简化运算！直到后面学习机控，看到Flourier推导过程中变换坐标系，把不能求解的一个广义积分问题求出来了，还把求导运算变成加减运算，简直方便得不要不要的！以至于用上瘾了的数学家们改造一下原函数，乘个阶跃函数（PS:从现实中的阶跃力，阶跃电流，把温度计放进恒温热水等等抽象出来的函数）变成（0，Inf）的函数，在乘个自然界衰减最快的“指数函数(PS工程经济里面学到的复利计算的极限连续版本------我觉得很像斐波那契数列连续版------我甚至觉得欧拉就是因为在计算一些公式的时候，发现经常出现一个极限表达式x->0,lim(1+1/x)x，计算的时候总是写这么长串大概会崩溃吧，所以他用e来表示这个数甚至求解出个大概算是工程解的值------背后的规律大概是因为自然界中瞬时变化率（导数）就是自身吧，不如说今天1生而二生四个细胞的培养皿中如果有基数为100的细胞全部都能分裂成为两个，那么数量的瞬时变化率（导数）就是自身100，同理同位素衰减等等，离散的斐波那契数列连续化就是ex，而elambdax求导本身还是自己这个特点（求导本身就是自身，求导不变这个性质对求解微分方程方便得不要不要的------用句时髦点的话就是求导算子的特征根是elambda*x，看证明的话有针对e的定义公式利用应用定义推导的，有从级数去推导的，有从微分方程几何解各个方面去推导的，6到飞起----------甚至因为这个良好的性质，ex实数域函数还扩展定义一个es复数与函数，为什么这么定义？因为这样自洽，因为这样能研究比较好的性质，因为这样eiw=cos(w)+isin(w)是很好算而且从之前的公式严谨推导出来的，数学的严谨性保证了他利用基本实验得到的基础公式定律在“模仿现实生活”的演算过程中的正确性！----------其实我对欧拉公式的理解，觉得他就是二元向量x+iy在笛卡尔直角坐标和圆坐标之间等价转化公式（也就是我前面说的不同大牛用数学语言对真实问题建模的“翻译”过程！其实，这里坐标只是我们对两个被研究量的一种抽象，凭什么坐标一定要是直角坐标？斜坐标系不行吗？答案是可以的，在《乐学高考》还是免费光哥还没离开乐学的时候，我看过他用斜坐标的骚操作代数求解几何证明问题）。一定要用两条直线吗？也不是的，我们选两个正交曲线族任意两条曲线，哪怕其中一条是椭圆曲线族也行，这时候，长得会很像物理里的“正交的电场线，磁场线”。那么问题又来了，为什么一定要两个正交基向量来表示二维平面空间的任何一个点呢？因为巧的是，两个独立真实信息（比如二维向量）我想用一个复数存起来，那么经过“保角映射”复变函数的一顿操作，还是正交基向量。
插播一则思考题（其实这才是我觉得不动点特征值存在的原因）：这里有一个“对称”的概念。对于对称这个概念，如果我们考察它的实质，实际上是一种不变性。如果一个几何图形在某些操作下保持不变，我们就说这个图形在这些操作之下具有某种不变性。费曼说：“”我不得不感叹，群论真是好东西，自然而然就出来的这些概念。对称性与守恒量的关系往往被冠以诺特定理的名字被提起。一个不算严格的表述是：
如果有一个拉格朗日量呈现一种连续（可微）的对称性，必有一个守恒量与之对应。
想想物理对称性和不变量，跟这个函数不动点，矩阵特征根的关系？
思考题我的观点在文末，希望讨论。
嗯呵~言归正传，书接上一回。这下就有搞头了！我们回头看，正交基向量有什么好处？我觉得是因为正交基向量他“对称”，好看，好算，自洽。见过一种理解方法是把i的行为看作旋转90°，再乘i又回到了实数轴。想想如果我们原来的不是正交基而是两条夹角30°的直线，我就要定义两种“运算规则”来研究这个问题，我规定，乘1次i才能表示30°，成第二次i表示转了150°，这样子也能实现这个相同的功能，但是，数学公式本来就不好算，为什么不找个满足“乘法交换”的“代数结构”呢？（四元数没有乘法交换性的原因大概是因为不对称吧。）研究起来多方便！近世代数伽罗华就开始作妖了，跑去研究代数结构而避开一团糨糊的微分方程，我觉得他就像是在说“我不研究低维空间切片怎么求系统性质了，我直接研究代数结构，从高维的更加高级的抽象来统领这些变换规律，然后你要低维结果求解，我直接降维投影给你，就像是我们算出来微分方程组复数根的时候变换为实数根的操作，不亦乐乎？”
划重点，这里就是题主说的为什么函数的不动点和矩阵特征值好像有关联？我觉得吧，他们就是有关联的，而且可以说是一个东西！你看呀，flourier告诉我们，任何一个绝对可积的函数F(t)可以写成（积分就是累加无穷小，积分就是加法一套组合拳，微分就是瞬时变化量就是一条脉冲函数）F(t)=sum(G（s=0+jw=a+jw=(ln(Z)/T）,谈谈我怎么理解傅里叶变换的，他就是把F(t)=sum(G（s=0+jw=a+jw=(ln(Z)/T）对应est)换成无穷维的三角基函数曲线的线性叠加，ejw=cos(t)+sin(t)告诉我们，我们还可以把每个w频率的三角函数的信息”存成“一个另外一个维度表示旋转运动的函数e^iw，好处就是这个复变函数的G（s=a+jw=0+jw）可以理解为”每个w频率的三角函数“对应的复变函数，里面每个w的函数的辐值|G(jw)|，相位对应每个w频率的三角函数<G(jw)，每个复变函数的辐角和相位你都知道了，你说，这还不好办吗？用比较现实的机械控制的语言来描述的话，就是说：当系统，输入Xi=sin(wt),则基向量幅值放大|G(jw)|,三角函数的相位延迟<G(jw)，直接可以写出w对应的Xo=|G(jw)|sin(wt+<G(jw))。对每个w频率的基向量我们进行变换都满足上述公式，那么只要“频率特性”机械控制里面研究明白之后，稳定单位元内的一般是（Wc,Inf），研究单位元外的影响大的（0，Wc)正弦基函数就好）
上述，还有一点值得提起的是累加这个符号，为什么这么说呢？事实上是这样子的，因为我们已经证明了这过程中的操作满足可加性，那么就很有意思了。F(t)=F(t)=sum_-Inf_Inf（F(w)cos(wt))=sum_-Inf_Inf（F(w)(eit+eit)/2)=sum_-Inf_Inf（F(w)sin(wt))=sum_-Inf_Inf（F(w)(eit-eit)/2)就可以变成复数域了，时域上累加我们能理解，那么复数域上的累加怎么理解？看这里：
https://www.bilibili.com/video/av26328393/Laplace可视化
没错，就是爽歪歪的矢量相加，这样子，想要的Nyquist判据之类的就出来了。《复分析可视化》这本书一开始我以为自己理解了这个负数的映射关系，结果看到这个视频还是被惊艳到了！
F(t)=sum(G（s=0+jw=a+jw=(ln(Z)/T）分别对应傅里叶变换，拉普拉斯变换，Z变换对学过《信号与系统》的小伙伴来说，又是一个个很棒的故事了！加窗什么的，真的很好用，“兔法学习”的好处就是，应用上手，五柳先生的好读书不求甚解。
比较好的傅里叶变换教程Heinrich：如果看了这篇文章你还不懂傅里叶变换，那就过来掐死我吧这
阿狸说过https://www.zhihu.com/question/23280174/answer/91561137：如果是振动问题，矩阵A的特征值是虚数，对应系统的固有频率，也就是我们常说的，特征值代表振动的谱。如果含有耗散过程，特征值是负实数，对应指数衰减；特征值是正实数，对应指数发散过程，这时是不稳定的，说明系统极容易崩溃，如何抑制这种发散就是控制科学研究的内容。
然后我自己做题方案的时候，觉得太费解，只有一张纸一支笔能推导出来些什么？这里是一个累加函数，如果我把这个函数描述的数学语言“翻译”成线性代数的数学语言，就可以把它写成一个“无限维的基向量est和他的系数函数矩阵G(s),这里s可以是复数也可以换成三角函数时域下表达的数”，然后写成矩阵变换的形式。-----因为可以把F(t)变换为不含时的函数，然后进行求导。高数下的微分方程待定系数解法也是这个原因，先设个已知函数elambdax再待定系数求解）就被Flourier变换用上了。微分算子，矩阵求导只要明确了基就可以做出矩阵来。我们现在看看这个Flourier怎么直接把F(t)=sum(G（s=a+jw=0+jw）=e^st)=D基向量，把基向量写成无穷维度，D就是对角矩阵【-inf,…,-2,-1,0，1，2，s复数,…】，那么求导操作就是对相同的基向量进行×D的操作，这还能线性叠加！！！于是有D+D,于是D+D=2D有了求导算子的乘法，于是线性系统研究这个简直不能太方便了。再说我当时想懂了这一步的时候我脑子里在想什么，妈耶，机控的频率特性我终于想明白是在干什么了！！！！！！频域特性的本质就是：如果输入Xi=sin(wt),则基向量幅值放大|G(jw)|,三角函数的相位延迟<G(jw)，直接可以写出w对应的Xo=|G(jw)|sin(wt+<G(jw)),这就是傅里叶变换里无穷维的其中一个基向量，那么Nyquist图我也能理解了，单位圆内一般高阻，一般他们系数很小|G(jw)|->0会趋近于零，影响F（t）的程度很有限，当我不去考虑他的话，我只要研究低通占据F(t)大头的（0,Wc）叠加效果是不是使F（t)稳定就行了！这样子机械控制系统的性质就美滋滋了，快准稳特点，美滋滋！
上面这个计算过程结合高数下微分方程组的待定系数lambda公式求解的思路更佳，学习机控的时候我就在想，到底什么是齐次方程？知道我看到状态方程那一章，我发现，这他们的，果然一阶齐次微分方程组和高阶齐次微分方程是一样的！是描述同一事物的不同数学语言！代数真的是太666了！难怪有代数几何这种学问思路想把所有几何公理都”存进"代数公式",然后用它来求一些几何定理或者证明，接着翻译转换回来！和复杂的辅助线和抽象空间想象而比较，算几张纸的公式太太太美滋滋了，放弃牛顿的矢量力的几何分析，用上代数这把瑞士军刀的分析力学注定走得快！我曾经想，那反正就是这个恒等变换用计算机穷举所有这些”恒等变换的情况“来得到我们想要的结果？然后我搜了下，果然已经有大牛想到了而且发展为一门学科------
(机器证明)[https://www.changhai.org/articles/technology/misc/compMath.php]
但是貌似结果不理想，因为这个证明过程不像是证明，就像是一门电话本！人根本读不懂，不能理解，只能用它来证明已知的理论！但是吧我又在猜想，反正现有的推论也是从各种"最基本的定理推导出来的----我喜欢把它称为这门学科的基向量，张成整个理论空间"，能不能把每个现有的推论都“翻译”成为类似Haskell函数式里面类似单子的一种东西，用他们去拼凑组合出新的“推论定理”呢？这样子就不需要依靠现在的运算技巧“算理”人为地进行求解了呀？为此我搜了下知乎为什么机器验证的形式化证明没有被数学界广泛采用？觉得现在最最最重要的需要解决的问题就是“把机器证明电话本一样的机器语言过程“翻译”给人看还能看懂”。计算机与数学证明。
再说回来，我除了跟一个牛逼的老师学过MATLAB数值积分求高阶微分方程组时其实就知道这个这个一阶齐次微分方程组和高阶齐次微分方程互相转换技巧了，但是知道学了“状态方程才理解它的本质到底是什么！”特别是结合了一条RC电路的题目我终于明白了，求解线性代数里面矩阵特征根特征向量一顿操作的具体含义到底是什么？我们在RC电路中利用已经发现了的可观测量u和i之间的关系，不是最佳的视角看待这个问题的方式！！！就像前面那个题目一样，我们可观测量测到的基向量不是想要的最简单的特征向量矩阵组成的量！所以我们需要转换观察的视角看待这个问题！把现在的矩阵进行“相似对角化”得到“解耦”的结果，我们得到的可观测量之间满足的公式一般不是这个世界的最本质的规律的量，其中lambda特征向量经过“相似变换等等各种变换坐标或者说变换表示他们的基向量”，一顿“耦合”之后矩阵变得很复杂了，我们就不会求解了，所以我们需要返璞归真找到真正的解！或者，在这个正确的坐标系下我们得到的可观测量不会是u=q``,i=q`，而是关于电荷q的一堆场论公式！机控的相似系统里面我就发现，如果说把q电荷和x位移在空间分布看作一个场的话，那么他们的关系就是q的梯度，旋度，散度等等各种导数之间的关系了！分析力学，场论等等一堆方程，大概就是研究者这一坨东西的规律吧。
上面这个我无穷维矩阵求导算子的计算过程结合高数下微分方程组的待定系数lambda公式求解过程来理解的开袋即食风味更佳，学习机控的时候我就在想，到底什么是齐次方程？知道我看到状态方程那一章，我发现，这他们的，果然一阶齐次微分方程组和高阶齐次微分方程是一个货色！是描述同一事物的不同数学语言！代数真的是太666了！难怪有代数几何这种学问思路想把所有几何公理都”存进"代数公式",然后用它来求一些几何定理或者证明，接着翻译转换回来！和复杂的辅助线和抽象空间想象而比较，算几张纸的公式太太太美滋滋了，放弃牛顿的矢量力的几何分析，用上代数这把瑞士军刀的分析力学注定走得快！我曾经想，那反正就是这个恒等变换用计算机穷举所有这些”恒等变换的情况“来得到我们想要的结果？然后我搜了下，果然已经有大牛想到了------https://www.changhai.org/articles/technology/misc/compMath.php。代数因为演算世界太过方便，以至于高等代数真的很抽象，甚至很多学习高等代数的人完全是想耍杂技一样背套路，做题步骤。
再举个例子，看马同学如何理解泰勒公式的时候，马同学高等数学看到这么一句话：“这个问题看到这么一段话：
那时候刚好旁听复变函数我对泰勒公式的理解：
看到这个我就忍不私聊马同学，跟他发“ 解析函数求导还是解析函数，复数域点与邻域的值都有关，复变函数要想解析处处可导必须满足柯西黎曼CR方程的约束，即实部和虚部的函数不能瞎变，如果要满足如果把实数当成复数域的底维投影，我觉得很有可能就是马同学口中的这种“一个点窥视整个函数的发展”！是高维投影的特点，我们从实数域偷窥高维复数域函数的特点！
当我学到《机械控制》的时候对泰勒公式的理解：
我做到了一个用泰勒展开的书上非线性系统“油压活塞动的非线性系统问题”，我算是看到了这个物理的本质。Taylor本质就是一种近似，一种忽略微小变化量高阶部分带来的变化，近似看成线性系统研究的过程。所以当然Taylor不能表示任何系统，Δx>1高阶微小量就不能忽略啦！就没有微小的余量啦！
再到我看到《机械控制》的“状态函数”的时候对泰勒公式的理解：
我想过一个问题，X(t)函数如果已知，就是一个知道时域上（-inf,+inf）的状态全部方程。Flourier变换乘上e^iwt旋转作用其实有一个积分的动作，把（-inf,+inf）上的函数值都积分了，就是说这个过程“包括了F（t）到无穷的信息！”
那么从数值积分的角度看这个问题，就一点来说，如果知道此刻x.(t)，x.(t),x.(t),x.(t),……到x.(t)的无穷阶导数的话， 当 Δt瞬间过后，可得到 x(t+Δt)=x.(t)+X.(t)`*Δt, x`(t+Δt)=x`.(t)+X.(t)*Δt,
x(t+Δt)=x.(t)+X.(t)*Δt, ………………………… Δt瞬间过后，物体运动状态方程还是已知的。 当 2Δt瞬间过后，可得到 x(t+2Δt)=x.(t)+X.(t)`*2Δt, x(t+2Δt)=x.(t)+X.(t)``*2Δt, x(t+Δt)=x.(t)+X.(t)*2Δt,
………………………… Δt瞬间过后，物体运动状态方程还是已知的。
同理可以迭代出x(t)任何一个时刻的状态方程，一样可以刻画这种“变换规律”。
换句话说就是，我们可以用时域上的X(t)函数表示"这个系统对输入作用结果->输出"这件事。
我们也可以用无穷维度的X(t)高阶导数为特征向量X^n的基向量和矩阵作为一个系统作用的算子表示"这个系统对输入作用结果->输出"这件事，当然，这里不能表示任何X(t)，因为Taylor是有收敛于的一种非线性系统线性化的近似手段------机械控制非线性化的例题估计都得讲这个。
那么自然而然地我们就能接受F(t)=F(t)=sum_-Inf_Inf（F(w)cos(wt))=sum_-Inf_Inf（F(w)(eit+eit)/2)=sum_-Inf_Inf（F(w)sin(wt))=sum_-Inf_Inf（F(w)(eit-eit)/2)，转化为特征值基向量是e^st，s=0+jw=a+jw=(1/T)*ln(z),求导算子求导矩阵是无穷维度的D=[Si]对角矩阵了！
线性微分方程与非线性微分方程的区别是什么？这里联想一下，很容易想到
D=|S1|
这里有个不错的理解：https://www.bilibili.com/video/av19141078/这个图像我居然在《机械设计》凸轮的转动升成回程圆周运动和从动杆之间直线运动推导过类似这样的位移卷起来的操作对应的数学公式，利用凸轮极坐标表示下的幅值|D（t）|=F（t）,自变量笛卡尔坐标系横轴t，3b1b这个是周期性无穷维的，那个，也是循环转，周期运动！联想到这个的时候，我当时上课就惊呼出声了------当时贼尴尬。
Laplace就是F(t)=sum(G（s=0+jw=a+jw=(ln(Z)/T）原来的Flourier（s=0+jw）变换之前卷积一个衰减函数e-a和单位阶跃函数u（t）得到（0，+inf）上的es=e(a+jw)=eaejw。本质和Flourier是一样的。Z变换不太了解，《信号与系统》没学过，但是我感觉思路和上面的一样，一样是换元的一种操作，就是把函数的变换作用“一部分变成”基向量的变换，以方便计算或者显示出某种公式特征某种规律。比如《机械控制》二阶函数Bode图用W/Wn能更好现实sin函数的规律，不会被拉长看不出图像特征。对数Bode还能把很宽的频率范围画出来，真好。那么问题来了，我知道10lg(|D(s)|)一般因为电流量，速度，等物理量要表示“能量”，一般有平方,比如E=(Mv2)/2。那么我就很想知道一个问题，物理光学滤波器，二阶系统稳定性，机控需要保证较小波动的阻尼比为什么出现那么多个1/2^0.5=0.707呢？机控书上哪儿都有神秘数字0.707？
2.接着想要研究：输入可观测量->（假设出来黑箱子一样的的系统）->输出可观测量，这个过程中的“这些可观测量满足的变换规律”！
这种变换规律我们抽象成的“函数”来表示系统对输入测观测量一顿操作得到输出量。机器学习前提就是假设冥冥中存在这么一个数据是有规律的（比如说同样是下蹲动作，不同人不同衣着环境下Kinect采集的骨骼点满足一定的“规律”，也可以把这种规律假设成为一个黑箱子核函数组合，甚至说是概率函数黑箱子，或者是一个可以被矩阵变换的黑箱子，函数，算子，算法，单子），但是我们正面硬刚机理分析去建模不知道这个“冥冥中有一个变换规律是什么”
Ps,插一嘴，这里闭着眼睛就设一个系统的理由是：”找规律归纳假设个定理数学语言翻译，接着恒等变换化到已知的公理定律假设证明成立“和“先设未知(未知值，比如研究函数的函数的泛函分析中可以设未知函数，未知矩阵，未知变换规律等等)，找到恒等式或者满足的规律（比如分析力学中从最小作用量原理出发解两个方程，拉格朗日方程和哈密顿正则方程得到要的信息），利用规律求解”是我见过最多的两种学科建立思路，比如机器学习里的神经网络–假设计算机像是人脑的一个多层核函数（多半是非线性的）叠加出来的函数，然后设计自动调参数的机制，用新数据不断“训练”，其实就是调核函数的系数进行“拟合”，得到比较满意的“（拟合）机器学习”之后的系统，然后就能拿去用于“新的数据”预测分类标记了！如果大自然中这种冥冥中的运作规律是有唯一解的，那么殊途同归，我一顿迭代就能迭代到极值点甚至最值点！哪怕我这个拟合用的核函数不是大脑真实用的“生物电流之间的传递规律”，我也可以不断巧妙设计得机器学习算法去调整那个被假设出来描述系统真实变换关系函数，“逼近”这个可解多维凸空间的最优解！数值积分只要近似到很多小数位以后我们就不关心了，这时候，我们的问题哪怕（精确解）正面硬刚机理分析直接建模太复杂得不到理论精确解，我们也可以得到近似可用的“工程解”，而且我们也玩得很开心，用得很愉快，看现在得AI过多的热度就知道了。当初做大创的时候玩Kinect我就在想，Kinect存进来的骨骼点txt文档就像是我们“人脑能接触到的感觉，比如光反射进入我的视网膜产生生化反应得到对应的生物电流”，任意Sensor传感器都能做到这种自然信息的“存储”（人脑就是感觉器官的生物电信号，计算机也有他的语言），输入一个“系统”（人脑，计算机…）可以“辨识加工”的“信号形式”（计算机中的弱电信号二进制一堆汇编机器语言，或者人脑中的生物电信号…）。
有的大牛觉得这种“变换规律”能记录下来他们的步骤的累积，把每个步骤堆在一起写成一坨“函数”（这个抽象出来的概念真的很妙！真实中变换的规律每一步都符号化，记载在演算纸上的一个符号变换的每一步，恒等变换就像是在不断地变换描述世界的表达式的坐标系，得到想要的简化或者结果！所谓定义，只是大牛建模的时候遇到一个问题，想要描述这件事自己“定义出来的”一种约定的表述方式，比如3b1b有一期视频介绍到用一个新的三角形符号取缔现在不合理的需要用三套不同写法的表达方式来表示对数指数幂函数之间的运算规律，他们是一个等价转换的变换规律，所以把他们这种在所研究的“抽象出来的代数空间”里运算的“封闭性”可写在一个三角形上，但是理论不能轻易推翻定义，因为python3不兼容python2真的很蛋疼，这意味着失去已有的很好用的“知识结论–轮子”，所以说，科学发展是有惯性的，不能瞬间就说改过来，一群人说pi的定义要修改，可是谁见过改了呢？）。
同样是描述自然运作规律，有的大牛脑袋结构不一样，方程移项之后把输入输出可观测量当作一个系统研究。作为这样子的数学应用的话，举个例子，物理学就是做个实验，提出假设，数学语言描述，分析力学从最小作用量原理出发两个方程求解。量子力学就像是：用“态|X>，波函数等等数学工具”表示“物体的状态”的无限维的线性代数。所以量子力学分成三派能够能等价转换的理论体系：有矩阵学得好得建立了矩阵力学去描述，还有另外直觉犀利化繁为简能力好的费曼历史路径积分法（费曼牛逼，费曼图还用几张简单的图像去表述量子中的一些规律）！最后，薛定谔一个转身了，从物理上证明了三者是等价的！冯诺依曼一个转身，从数学上证明3者等价性，甚至一个用力过猛（想起柯西的函数连续的一致连续，?），顺便证明了量子力学有无数描述方式!
牛顿牵头用微分积分来描述现实，然后运算进行推理，精彩地在演算纸上把世界“刻画”出来。但是解微分方程不太容易，前赴后继，之后在求解高阶方程的过程中的伽罗华完成了《关于用根式解方程的可解性条件》，可是柯西傅里叶都没看懂，他开创的近世代数把现代数学由作为解方程的科学转变为研究代数运算结构，从整体的可能性去考虑问题，很精彩，但是也很有用。
最近在机械控制信号与系统等等学科里对Flourier变换和他的变种Laplace（人工改造函数强行傅里叶-_-#）,Z（离散）之类的一顿变换一顿“神操作”的具体意义感到很好奇，研究了下，说说我的观点吧。任何F（t）函数可以写成傅里叶无限维个基向量是指数函数（复数存两个真实信息------能量耗散或扩散的衰减因子和表示无损失能量转换的虚数两部分部分，后者也可以写成正弦周期函数，但是欧拉发现“自然是复利计算的，增长瞬时变换量（斜率）就是本身！他可能是发现)”）进行变换！累加（积分）的形式，理所当然的，把他们写出来，我就发现他们原来可以写成无限维的方程组，
Ps思考题（好吧，这里才是认真回答的部分，前面全是铺垫）
我认为既然物理假设真实世界中，存在这么一种对称性，那就必然有守恒量，那就必然会有不变量，把XiG(s)=Xo直接写成F(Xi,系统的变换规律比如用传递函数表示，Xo)=0=Xi*G(s)-Xo。既然物理定律有守恒量，那根据这套物理定律描述的世界肯定也是有守恒量的，即有不变量。时间平移对称：空间平移对称：空间旋转对称：这三个对称操作带来的守恒量，称为能量、动量与角动量守恒定律。所以，对用来描述“输入系统输出”关系而抽象出来的函数，矩阵来说，函数有不动点，矩阵有特征值大概是这些守恒量假设决定的吧，至于为什么这样假设，问物理学家他们这个是为了描述什么自然现象吧。至于拓扑意义下的不动点定理之类的数学上定义推理出来的“不动点定理”，不懂，不敢妄言。
但是我有还有很多疑问，比如
里奇纯粹人为构造的一套符号演化规则------λ表达式里也有类似“不动点”，Y不动点组合子，这又是为什么呢？
不动点会不会是任何运算封闭的代数结构都有的拓扑性质？会不会已经有大佬证明出来了已经？
吐槽一个：强烈建议知乎像StackFlow，axiv之类专门讨论数学物理计算机方面的地方，或者知乎分板块专门显示各种类的问题谈论（现在的话题分类有点太难搜到想要的信息了），这样我就不用天天看到知乎像是在刷“微博”了，有时候我真不明白一些答案是怎么贴上“数学的标签的”？，方便交流观点，而且这样子有价值的问题也不会被稀释。
作者：Tridu33
时间：2018-01-15
------------ 这部分是胡扯 -----------------------------------------------------------
所有“理解数学"的秘诀都是隐藏在理解他们的公式推导的过程中！很多时候，我很不明白一些考试，需要学生背公式背结论的是想干什么？考前一周背结论背题目，然后考个高分，然后考后忘记。出来一个个高端复读机，做题的人都知道怎么做就是不知道为什么，但是就是能快速利用已知结论像耍杂技一样一顿推导，一顿奇淫怪技得到结果，?，出来答案！那么问题来了，我们没有计算机吗？把步骤顺序地存成算法，不久能够AI取缔这些“人肉背题复读机”了吗？举个例子，当初我学大学物理，我问一个宿友（没有贬低的意思，我熟知他，他也是个很优秀的人），你觉得为什么书上说“运动是绝对的？”。他见我吃饭走路都在跟他讨论这个，他不耐烦了就语重心长跟我说了一句，你为什么要管他运动到底是绝对的还是相对的呢？考试卷子上有这个填空题“运动到底是绝对的”，你会填不就完事儿了吗？我当时就想，可是人生不是所有题目都有参考答案呀？我们应该在前人的开拓的路上奔走，踩在巨人的肩膀上，而不是画地为牢，当自身没学明白的学生当上了老师，他教出来的学生估计也是只会“依葫芦画瓢”和各种所谓的解题套路。可是我后面转念一想，这样子筛选出来的，一定是“不笨的”“明白游戏规则需要把知识掌握到什么程度的”“乖巧的听话的让背题目就背题目的”精致利己主义者！怎么说了呢？人与人之间唯一的纽带就是彼此的利用关系，无论是情感方面还是物质方面的，进化论告诉我们“自私的基因”才能存活，这是凯文凯利说的文化母体的《必然》！自私才是我们基因深处的秘密，无私是一种假装出来的自私，大牛也是人，也需要吃饭，牛顿也需要挣钱，有私心才是能理解的吧，但是这里不能断章取义，这个私心不是单指利己主义，包括精神满足的获得，比如牺牲自己想换来家人的平安，甚至更高的舍生取义者------牺牲自己部分利益甚至生命换来自己本心的“义”！有点缺点在所难免。但是一个好的人才筛选制度应该在每个人都是自私的情况下，实现全人类得进步和相对公平。就像是在无知之幕下面分蛋糕。但是我又发现了，看来现在的人才选拔机制还是现阶段最最最相对合理的虽然不完美但是没有更好的替代品。
后来我又想明白了一点，背结论这是快捷的“兔法”，每个东西都要弄到能给小学生讲懂得程度得叫做“龟法”，两者辅助使用更佳！因为有些东西，记住就是理解了，但是理解了抽象的意义是什么，给你一道题目或者具体问题，你不会求解，连已有大牛给你想好的“做题套路，算理”你都不会用来求解，这他们的就很尴尬了。总不能说，那个算题比你快，反映比你敏捷的人比你差吧？这是世界不缺乏聪明人，但是感觉所有聪明人都困在考试这个牢笼里面了，学而优则仕？但是千军万马过独木桥，人才“内卷化”（ involution）太严重。不是每个人都要成为科学家，但是都想考研混个文凭好找的工作（大学，已经是一个“职业培训机构”？）。我想，既然人生如果大部分工作时类似搬砖的“重复性工作而不是开创性工作，那么那些只会背题目和迅速应用的人肯定也能快速上手工作的事务呀------刻意训练，快速学习，往往走得快的人走得不扎实，忘记最开始的好奇心和初衷了”。“龟法”和“兔法”应该相辅相成才能走远，龟法推导出来的公式，不是任何时候都重新你推导一边的，想解决问题还是要背下来结论，哪怕结论很抽象一点不生动。现在很多讲数学本质的人，我感觉其实都在做一件事，把这门学科怎么建模的思路剖析出来，然后就得到生动的“理解数学”了。兔法在快速掌握“学科的计算规律应付考试刻意训练以外，还要考虑为什么，记住最最开始的问题，不断学习的过程中反复思考那个问题你能解答到哪一步？”古人诚不欺我，此乃“学而不思则亡，思而不学则殆”也。
自学过一些学科，我对习题深有体会，不做习题就代表不理解这门知识，看是不能看会的！只有动手回答问题，思考，才发现那个知识建模求解思路属于你自己！我有时候一直不理解机械控制误差和偏差的概念，知道做了一道题目，豁然开朗。习题里不但有大牛们精心写好，让小白也能按部就班就觉高深难题的”做题套路”“解决问题的套路“，更加蕴含着其中的“算理”，只有多进行计算，才能掌握代数结构的规律，找出抽象规律进一步抽象出更高层次放诸四海皆能用的“数学统一理论”，在能像伽罗华一样掀开近世代数的一角，后续人们前赴后继，历史不需要英雄，需要奠基者，基石。习题还有一个好处就是，让一个毫无工程背景的人也能通过题目了解学习知识的应用，比如机械控制的一些建模题目。温度计系统放进热水里测温度就是一阶系统放进单位阶跃输入信号。还有频率特性的意义简直是我思考Flourier频域特性实际意义的一盏明灯，太妙了。
------------ 胡扯结束 -----