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李宏毅机器学习之Gradient Descent

热度：89 发布时间：2023-12-25 12:07:57.0

一、Review：梯度下降法

在之前回归问题第三步中，需要解决下面最优化的问题：
- L：lossfunction（损失函数）
- ：parameters（参数）
  - 这里parameters是复数，即指代一堆参数，比如前面说到的w和b
我们需要找到一组参数，让损失函数越小越好，这个问题可以用梯度下降来解决：
假设中有两个参数和随机选取初始值，然后分别计算初始值点处，两个参数对L的偏微分，然后减掉乘上偏微分的值，得到一组新的参数。同理反复进行这样的计算，黄色部分为简洁写法，叫做learning rates(学习速率)

梯度下降算法可视化

二、Tip1：调整学习速率

2.1 小心翼翼的调整学习率

下图左边黑色为损失函数的曲线，假设从左边最高点开始，如果学习速率调整的刚刚好，比如红色的线，就能顺利找到最低点。如果学习速率调整太小，比如蓝色的线，就会走的太慢，虽然这种情况给足够多的时间也可以找到最低点，实际情况可能会等不及出结果。如果学习速率调整的有点大，比如绿色的线，就会在上面震荡，走不下去，永远无法到达最低点。还有可能非常大，比如黄色的线，直接就飞出去了，更新参数的时候只会发现损失函数越更新越大。虽然这样的可视化可以很直观观察，但可视化也只是能在参数是一维或者二维的时候进行，更高维的情况已经无法可视化了。
解决方法就是上图右边的方案，将参数改变对损失函数的影响进行可视化。比如学习率太小（蓝色的线），损失函数下降的非常慢；学习率太大（绿色的线），损失函数下降很快，但马上就卡住不下降了；学习率特别大（黄色的线），损失函数就飞出去了；红色的就是差不多刚好，可以得到一个好的结果。

2.2 自适应学习率

随着次数的增加，通过一些因子来减少学习率
- 通常刚开始，初始点会距离最低点比较远，所以使用大一点的学习率
- update好几次参数之后，比较靠近最低点了，此时减少学习率
- 比如 $\eta ^t = \frac{\eta ^t}{\sqrt{t+1}}$ ，t是次数。随着次数的增加， $\eta ^t$ 减小
学习率不能是一个通用的特征，不同的参数需要不同的学习率

2.3 Adagrad算法

2.3.1 Adagrad是什么

每个参数的学习率都把它除上之前微分的均方根。解释：
普通的梯度下降为：
- w是一个参数

Adagrad可以做的更好：
- $\sigma ^t$ ：之前参数的所有微分的均方根，对于每个参数都是不一样的。

2.3.2 Adagrad举例

一个参数的更新过程

将Adagrad的式子化简：

2.3.3 Adagrad存在的矛盾

在Adagrad中，当梯度越大时，步伐应该越大，但是分母又导致当梯度越大的时候，步伐越小。

解释：

正式解释：比如初始点在 $x_0$ ，最低点是 $-\frac{b}{2a}$ ，最佳的步伐就是 $x_0$ 到最低点之间的距离 $\left | x_0 + \frac{b}{2a} \right |$ ，也可以写成 $\left | \frac{2ax_0+b}{2a} \right |$ 。而刚好 $\left | 2ax_0 + b \right |$ 就是方程绝对值在 $x_0$ 这一点的微分。这样就可以认为如果算出来的微分越大，则距离最低点越远。而且最好的步伐和微分的大小成正比。所以如果踏出去的步伐和微分成正比，它可能是比较好的。则可以得出结论：梯度越大，就跟最低点的距离越远。但是这个结论在多个参数的时候就不一定成立了。

多个参数下上述结论不一定成立
- 对比不同参数，下图左边是两个参数的损失函数，颜色代表损失函数的值。如果只考虑 $w_1$ ，就像是图中蓝色的线，就像是如中蓝色的线，得到下图右边的结果；如果只考虑参数 $w_2$ ，就像图中绿色的线，得到右边下图的结果。确实对于a和b，上面我们得到的梯度越大，就跟最低点的距离越远结论是正确的，同理c和d也成立。但是如果对比a和c，就不成立了，c比a大，但c距离最低点是比较近的。所以上述结论是没有考虑跨参数对比的情况下，才能成立，所以不完善。

前面我们得到最佳距离 $\left | \frac{2ax_0+b}{2a} \right |$ ，还有个分母2a，对function进行二次微分刚好可以得到：

所以最好的步伐应该是：
即不止和一次微分成正比，还和二次微分成反比，最好的step应该考虑到二次微分：

2.3.4 Adagrad进一步解释

再回到之前的Adagrad

对于 $\sqrt{\Sigma ^t_{i=0}(g^i)^2}$ 就是希望在尽可能不增加过多的运算的情况下模拟二次微分。（如果计算二次微分，在实际情况中可能会增加很多的时间消耗）

三、Tips2：随机梯度下降法

之前的梯度下降：

而随机梯度下降法更快：损失函数不需要处理训练集的所有的数据，选取一个例子 $x^n$

此时不需要像之前那样对所有的数据进行处理，只需要计算某一个例子的损失函数Ln，就可以赶紧update梯度。
对比：常规的梯度下降算法走一步要处理二十个例子，但随机算法此时已经走了二十步（每处理一个例子就更新）

四、特征缩放

比如有个函数： $y = b + w_1x_1+w_2x_2$ ，两个输入的分布的范围很不一样，建议把他们的范围缩放，使得不同输入的范围是一样的。

4.1 为什么要这样做

下图左边是 $x_1$ 的scale比 $x_2$ 要小很多，所以当 $w_1$ 和 $w_2$ 做同样的变化时， $x_1$ 对y的变化的影响是较小的， $x_2$ 对y的变化影响是比较大的。对于左边的情况，上面讲过这种狭长的情形不过不用Adagrad的话是比较难处理的，两个方向上需要不同的学习率，同一组学习率会搞不定它。而右边情形更新参数就会变得比较容易。左边的梯度下降并不是向着最低点方向走的，而是顺着等高线切线法线方向走的。但绿色就可以向着圆心（最低点）走，这样做参数更新也是比较有效率。

4.2 怎么做缩放

方法有很多，这里说一个常见的：下图每一列都是一个例子，里面有一组特征。对于每一个维度i（绿色框）都计算平均数，计做： $m_i$ ；还要计算标准差，计做： $\sigma _i$ ，然后用第r个例子中的第i个输入，减掉平均数 $m_i$ ，然后除以标准差 $\sigma _i$ ，得到的结果是所有的维数都是0，所有的方差都是1

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