NOIP2017 宝藏 题解报告【状压dp】

题目描述

参与考古挖掘的小明得到了一份藏宝图，藏宝图上标出了 n 个深埋在地下的宝藏屋， 也给出了这 n 个宝藏屋之间可供开发的 m 条道路和它们的长度。

小明决心亲自前往挖掘所有宝藏屋中的宝藏。但是，每个宝藏屋距离地面都很远， 也就是说，从地面打通一条到某个宝藏屋的道路是很困难的，而开发宝藏屋之间的道路 则相对容易很多。

小明的决心感动了考古挖掘的赞助商，赞助商决定免费赞助他打通一条从地面到某 个宝藏屋的通道，通往哪个宝藏屋则由小明来决定。

在此基础上，小明还需要考虑如何开凿宝藏屋之间的道路。已经开凿出的道路可以 任意通行不消耗代价。每开凿出一条新道路，小明就会与考古队一起挖掘出由该条道路 所能到达的宝藏屋的宝藏。另外，小明不想开发无用道路，即两个已经被挖掘过的宝藏 屋之间的道路无需再开发。

新开发一条道路的代价是：

$$L\times K$$

L代表这条道路的长度，K代表从赞助商帮你打通的宝藏屋到这条道路起点的宝藏屋所经过的 宝藏屋的数量（包括赞助商帮你打通的宝藏屋和这条道路起点的宝藏屋） 。

请你编写程序为小明选定由赞助商打通的宝藏屋和之后开凿的道路，使得工程总代 价最小，并输出这个最小值。

输入输出格式

第一行两个用空格分离的正整数 n 和 m，代表宝藏屋的个数和道路数。

接下来 m 行，每行三个用空格分离的正整数，分别是由一条道路连接的两个宝藏 屋的编号（编号为 1~n），和这条道路的长度 v。

输出共一行，一个正整数，表示最小的总代价。

输入输出样例

4 5 
1 2 1 
1 3 3 
1 4 1 
2 3 4 
3 4 1 

4

4 5 
1 2 1 
1 3 3 
1 4 1 
2 3 4 
3 4 2  

5

说明

【样例解释1】

小明选定让赞助商打通了 1 号宝藏屋。小明开发了道路 $1\to 2$，挖掘了 2 号宝 藏。开发了道路 $1\to 4$，挖掘了 4 号宝藏。还开发了道路 $4\to 3$，挖掘了 3 号宝 藏。工程总代价为：$1\times 1+1\times 1+1\times 2=4$

【样例解释2】

小明选定让赞助商打通了 1 号宝藏屋。小明开发了道路 $1\to 2$，挖掘了 2 号宝 藏。开发了道路 $1\to 3$，挖掘了 3 号宝藏。还开发了道路 $1\to 4$，挖掘了 4 号宝 藏。工程总代价为：$1\times 1+3\times 1+1\times 1=5$

【数据规模与约定】

对于 20%的数据： 保证输入是一棵树，$1\le n\le 8$，$v\le 5000$ 且所有的 v 都相等。

对于 40%的数据： $1\le n\le 8$，$0\le m\le 1000$，$v\le 5000$ 且所有的 v 都相等。

对于 70%的数据： $1\le n\le 8$，$0\le m\le 1000$，$v\le 5000$

对于 100%的数据： $1\le n\le 12$，$0\le m\le 1000$，$v\le 500000$

$\mathrm{题解}$

$状压dp其实很明显，n<=12\; 考场一眼状压$

$我们设f[s]表示已经打通了集合s中的点的最小代价，则对于集合中所有的点的边，若能到达一个不在集合中的点v,新状态为e\; =\; s\; |\; (1\; <<\; v\; -\; 1)，则f[e]\; =\; min(f[e],f[s]\; +\; w\; *\; g[s].d[u]);$

$其中g[s]储存的是s状态下各点的深度，由u点转移，那么代价就是【边权】w\; *\; g[s].d[u]$

$但是要注意，一个最优代价可能有多种深度方案，所以g[s]实际上应该是一个表，储存多个可能的深度【考场上就没注意想】$

$总的复杂度是O(2\; ^\; n\; *\; n\; *\; m)$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<algorithm>
#define LL long long int
#define REP(i,n) for (int i = 1; i <= (n); i++)
#define fo(i,x,y) for (int i = (x); i <= (y); i++)
#define Redge(u) for (int k = head[u]; k != -1; k = edge[k].next)
using namespace std;
const int maxn = 15,maxm = 2005,maxv = 1 << 13,INF = 1000000000;inline int read(){int out = 0,flag = 1;char c = getchar();while (c < 48 || c > 57) {if (c == '-') flag = -1; c = getchar();}while (c >= 48 && c <= 57) {out = out * 10 + c - 48; c = getchar();}return out * flag;
}int head[maxn],nedge = 0;
struct EDGE{int to,w,next;
}edge[maxm];inline void build(int u,int v,int w){edge[nedge] = (EDGE) {v,w,head[u]};head[u] = nedge++;edge[nedge] = (EDGE) {u,w,head[v]};head[v] = nedge++;
}int f[maxv],n,m,mv;struct node{int d[maxn];node() {memset(d,0,sizeof(d));}node(int u) {memset(d,0,sizeof(d)); d[u] = 1;}
};vector<node> g[maxv];void solve(){for (int i = 1; i <= mv; i++) f[i] = INF;for (int i = 1; i <= n; i++){g[1 << (i - 1)].push_back(node(i));f[1 << (i - 1)] = 0;}int to,e,t;for (int s = 1; s <= mv; s++){for (int i = 1; i <= n; i++){if ((s | (1 << (i - 1))) == s){Redge(i){to = edge[k].to;e = 1 << (to - 1);t = s | e;if (t != s){for (unsigned int l = 0; l < g[s].size(); l++){if (f[t] > f[s] + edge[k].w * g[s][l].d[i]){f[t] = f[s] + edge[k].w * g[s][l].d[i];g[t].clear();g[t].push_back(g[s][l]);g[t][0].d[to] = g[s][l].d[i] + 1;}else if (f[t] == f[s] + edge[k].w * g[s][l].d[i]){g[t].push_back(g[s][l]);g[t][g[t].size() - 1].d[to] = g[s][l].d[i] + 1;}}}}}}}printf("%d\n",f[mv]);
}void init(){fill(head,head + maxn,-1);n = read(); m = read(); mv = (1 << n) - 1;int a,b,w;while (m--){a = read(); b = read(); w = read();build(a,b,w);}
}int main()
{init();solve();return 0;
}