1968: [Ahoi2005]COMMON 约数研究
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Description
Input
只有一行一个整数 N（0 < N < 1000000）。
Output
只有一行输出，为整数M，即f(1)到f(N)的累加和。
Sample Input
3
Sample Output
5
题解
我们知道一个数x的约数个数 = (a1 + 1) * (a2 + 1) * (a3 + 1)......(ak + 1)
其中x的质因子分解：x = p1^a1 * p2^a2 * p3^a3 ......pk^ak
现在我们需要算出所有数的约数个数和
直接算？O(n√n) n <= 1000000肯定超时
考虑线性筛
若i为质数，显然f[i] = 2
若i不为质数，它一定会在线性筛中被它除去最小的一个质因数后的那个数筛去
例如 20 = 2 * 2 * 5，那么在筛到10 = 2 * 5时，我们会用 2 * 10 筛去20
由于比10及10以前的f值已经确定
这个时候f[20] = f[10] + f[10 / 2^1] = (1 + 1) * (1 + 1) + (1 + 1) = 3 * 2
也就是f[i * prime[j]] = f[i] + f[i除去所有prime[j]后的数]
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<bitset>
#define LL long long int
#define REP(i,n) for (int i = 1; i <= (n); i++)
using namespace std;
const int maxn = 1000005,maxm = 100005,INF = 1000000000;
int prime[maxn],primei = 0,n;
LL f[maxn],M = 0;
bitset<maxn> isp;
void cal(){int t;isp.set();f[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; i++){if (isp[i]) prime[++primei] = i,f[i] = 2;for (int j = 1; j <= primei && i * prime[j] <= n; j++){isp[i * prime[j]] = false;for (t = i; t % prime[j] == 0; t /= prime[j]);f[i * prime[j]] = f[i] + f[t];if (i % prime[j] == 0) break;}}REP(i,n) M += f[i];
}
int main()
{cin >> n;cal();cout << M << endl;return 0;
}