中学：
Euclid与非Euclid几何、变换群、线性分式变换、量子力学原理（Kostrikin和Manin线性代数与几何。）。
群、环、域、线性代数、Galois理论、经典李群、有限群的线性表示、张量代数。
集合论、 Zorn引理、偏序集、Cantor-Berenstein定理、不可数集。
度量空间、拓扑空间、同伦、基本群、同伦等价。
p-adic数、Ostrowski定理。
一元微积分。
大一：
多元微分学、压缩映射与隐函数定理、Riemann与Lebesgue积分、Hilbert空间、Banach空间、线性算子、紧算子、光滑流形、浸没、嵌入、单位分解、横截性、映射度、微分形式、Stokes定理、de Rham上同调、电磁场的Maxwell方程。（Zorich的数学分析、Laurent Schwartz的分析、Kirillov的泛函分析、Wallace，Differential Topology、Milnor，Topology from the Differentiable Viewpoint。）
单复变函数（Cartan的解析函数论初步、Shabat复分析第一卷）
范畴论（Gelfand的同调代数第一章。）
李群李代数（Serre的Lie Groups and Lie Algebra的第一部分。）
大二：
同调论、上同调理论、Poincare对偶、同伦群、纤维丛、谱序列、经典李群与射影空间的上同调。（Fuchs和Fomenko的代数拓扑、Mishchenko的向量丛）
纤维丛、联络、Gauss-Bonnet公式、Euler类、Pontryagin类、Stiefel-Whitney类、陈类。（Milnor示性类。）
微分几何：Levi-Civita联络、曲率、Bianchi等式、Killing场、黎曼流形的该死曲率、Morse理论、主丛。（Milnor的Morse theory、Besse的Einstein manifolds、Novikov的现代几何学。）
交换代数（Atiyah交换代数、LNM21和LNM40）
代数几何初步（Shafarevich的书和GTM52第一章）
李群李代数（Serre的书的第二部分、Hermann Weyl的Invariants of classical groups）、Hopf代数、量子群的定义。