代码源 每日一题 div1 删数

删数

今天的题又不会写，所以来写题解总结一下

题意

给你一个数组，每次如果$a_i=(a_{i+1}+a_{i?1})/2$，那么就可以删除$a_i$。问这个数组经过一系列删除后最短长度是多少？

思路

注意到，能删除的数字是等差数列中间的那个数字，所以我们可以构造差分数组$d[i]=a[i+1]=a[i]$，删除$a[i]$后，新的$d[i]$刚好是旧$d[i]$的两倍，即等价于合并两个相同的$d[i]$。

所以，这个问题就转化为，给你一个数组$d$，每次可以合并相邻且值相同的两个值，问这个数组最后能剩下最少的数字是多少？

因为每次合并都是连续的区间，而且对于$d[i]$所在合并后的区间，其值必定为$d[i]?2^k(k=0,1,...)$。既然到了这里，不妨再进一步处理，把2的因子全部提取出来。

有了上面这个观察，我们再考虑DP，记$dp[i]$为合并前i个数字，最后得到最少的数字。对于每个$d[i]$，我们只需要包含它，且和为$d[i]?2^k$的区间即可。所以，我们还缺一个数组$f[i][j]$，表示以i开头，和为$d[i]?2^k$的区间最右边是哪个位置。

到了这一步，很明显$f[i][j]$可以用倍增的思想处理出来，即$f[i][j]=f[f[i][j?1][j?1]]$。另外，要注意一点，如果$d[i]$不相等，那么$f[i][j?1]$不能和$f[f[i][j?1][j?1]]$这个位置合并，而且如果$d[i]==0$的话，那么可以直接无视其他的条件进行合并。具体看代码。

最后就是进行dp过程了，因为$f$是考虑右边的位置，所以dp含义这里改变一下，$dp[i]$表示从$i$开始到n，合并后可以得到的最少数字

• 状态转移 $dp[i]=dp[f[i][j]]+1$
• 因为我们合并的是差分数组，所以最后答案为$dp[1]+1$
• 剩余一些细节可以参考代码

#include <bits/stdc++.h>
#define x first
#define y second
using namespace std;
typedef long long LL;
using tp = tuple<int,int,int>;
typedef pair<int,int> PII;
const int N = 3e5 + 10, M = 3010, mod = 998244353, INF = 1e9;
bool multi = true;int n;
int d[N], a[N], cnt[N];
//第i个位置，合并变成d[i]*2^k，到什么地方
int f[N][55], dp[N];
void solve() {
    scanf("%d", &n);for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);for(int i = 1; i <= n; i++)for(int j = 0; j <= 50; j++) f[i][j] = -1;n--;for(int i = 1; i <= n; i++) {
    d[i] = a[i + 1] - a[i];cnt[i] = 0, dp[i] = INF;while(d[i] && d[i] % 2 == 0) {
    cnt[i]++;d[i] /= 2;}}for(int i = n; i >= 1; i--) {
    f[i][cnt[i]] = i + 1;for(int j = 1; cnt[i] + j <= 50; j++) {
    if(f[i][cnt[i] + j - 1] > n) break;if(f[i][cnt[i] + j - 1] == -1) break;if(d[i] != d[f[i][cnt[i] + j - 1]]) break;f[i][cnt[i] + j] = f[f[i][cnt[i] + j - 1]][cnt[i] + j - 1];}}dp[n + 1] = 0;//i~n，合并后能剩下的最少区间数量for(int i = n; i >= 1; i--) {
    if(i + 1 <= n && !d[i] && !d[i + 1]) dp[i] = dp[i + 1];else {
    for(int j = 0; j <= 50; j++) {
    if(f[i][j] == -1) continue;dp[i] = min(dp[i], dp[f[i][j]] + 1);}}}cout << dp[1] + 1 << endl;}int main() {
    int T = 1;if(multi) cin >> T;while (T--) solve();return 0;
}