week3——快速排序

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本文是博主在Coursera学习时所写的学习笔记，如有错误疏漏还望各位指正。

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快速排序

基本思想

1. 打乱数组
2. 若满足下面两个条件，则将数组从下标为j的地方分为两部分
   
   • a[j]左侧没有比a[j]大的元素
   • a[j]右侧没有比a[j]小的元素
3. 对第二步得到的两个数组惊醒递归排序

举个例子

现在输入一个数组

• 第一阶段：
  对数组重复执行以下操作，直至i和j相遇

  1. 如果 a[i] < a[lo]，则 i = i + 1，否则–>2
  2. 如果 a[j] > a[lo]，则j = j - 1 ，否则–>3
  3. 使a[j] 和 a[i]的值互换，–>4
  4. 重复以上步骤直至i>=j

  
  交换 R，C

  
  交换T，I

  
  交换L，E

• 第二阶段：
  当 i>= j时交换a[lo],a[j]

  

  交换 K，E

  执行完以上两个阶段后，a[j]左侧的元素都小于a[j]，右侧的元素都大于a[j]，数组被分为两部分。

代码实现

package sort;public class QuickSort {
    public QuickSort() {}public static void sort(Comparable a[]) {sort(a, 0, a.length - 1);}//私有方法，通过递归对a[lo]~a[hi]进行拍戏private static void sort(Comparable a[], int lo, int hi) {if (hi <= lo)return;int mid = partition(a, lo, hi);sort(a, lo, mid - 1);sort(a, mid + 1, hi);}//分割数组private static int partition(Comparable a[], int lo, int hi) {int i = lo, j = hi + 1;while (true) {while (less(a[++i], a[lo])) {if (i == hi)break;}while (less(a[lo], a[--j])) {if (j == lo)break;}if (i >= j)break;swap(a, i, j);}swap(a, lo, j);return j;}private static boolean less(Comparable a, Comparable b) {return a.compareTo(b) < 0;}private static void swap(Comparable a[], int i, int j) {Comparable c = a[i];a[i] = a[j];a[j] = c;}
}

算法分析

比较次数

• 最优情况 ：$NlgN$
• 最差情况： $\dfrac12N^2$
• 平均情况：$1.39NlogN$，证明在文末
  比归并排序多了39%的比较次数，但是实际应用中一般快于归并排序，因为快速排序需要的数据移动更少。

快速排序是不稳定的排序算法

改进

• 与归并排序相同，快速排序也在小数组上的用时较多，可以在数组长度较小时改用插入排序。

 {if (hi <= lo + CUTOFF - 1){Insertion.sort(a, lo, hi);return;}int j = partition(a, lo, hi);sort(a, lo, j-1);sort(a, j+1, hi);}

快速排序平均复杂度证明

$$C_N= (N+1) +( \dfrac{C_0 + C_{N-1}}{N})+( \dfrac{C_1 + C_{N-2}}{N}) + ... + +( \dfrac{C_{N-1} + C_0}{N})$$

最前面的N+1是分割数组所需要的复杂度，后面的$\dfrac{C_i + C_{N-i}}{N}$，其中$C_i$,$C_{N-i}$分别对应着划分后的左侧数组和右侧数组，${1 \over N}$是指这种分割的概率。

两边同时乘以$N$

$$NC_N = N(N+1)+2(C_0 + C_1 + ...+C_{N-1})$$

将N = N-1带入上式，将得到的结果两侧分别相减

$$NC_N - (N-1)C_{N-1} = 2N + 2C_{N-1}$$

移项后两边除以$N(N+1)$

$$\dfrac{C_N}{N+1} = \dfrac{C_{N-1}}{N} + \dfrac2{N+1}$$

右侧展开

$$\begin{align} \dfrac {C_N}{N+1} & = \dfrac{C_{N-1}}{N} + \dfrac{2}{N+1}\\ & = \dfrac{C_{N-2}}{N-1} + \dfrac2N + \dfrac{2}{N+1}\\ & = \dfrac{C_{N-3}}{N-1} +\dfrac{2}{N-1} \dfrac2N + \dfrac{2}{N+1}\\ & = \dfrac23 + \dfrac24+\dfrac25 + ...+ \dfrac{2}{N+1} \end{align}$$

两边乘以$N+1$，提取公因式

$$\begin{align} C_N &= 2(N+1)( \dfrac13 + \dfrac14+\dfrac15 + ...+ \dfrac{1}{N+1})\\ &\approx 2(N+1)\int_3^{N+1}\dfrac1x dx\\ \end{align}$$

最终结果：

$$C_N = 2(N+1)lnN \approx 1.39NlgN$$