Hust oj 1429 凸多边形（叉乘+二分）

已知一个凸多边形A（包含n个点，点按照顺时针给出），和一个点集B（包含m个点），请判断这m个点是否都严格在凸多边形A内部。

输入包含多组测试数据。

对于每组测试数据：

第1行，包含一个整数n (3?≤ n ≤?10⁵)代表着凸多边形A的点的数量。

接下来n行每行包含一个坐标(x, y) (-10⁹ ≤ x, y ≤?10⁹) 表示这个凸多边形，点按照顺时针给出。

第n + 2行，包含一个整数m (3?≤ m ≤?10⁵)代表着点集B的点的数量。

接下来m行每行包含一个坐标(x, y) (-10⁹ ≤ x, y ≤?10⁹) 表示这个点集B。

处理到文件结束

对于每组测试数据：

第1行，如果点集B都严格在凸多边形A内，输出YES，否则输出NO。

4

-10 -10

-10 10

10 10

10 -10

3

0 0

1 1

2 2

4

-10 -10

-10 10

10 10

10 -10

3

100 100

1 1

2 2

YES

NO

正常暴力用叉乘跑的话肯定会超时，这里学习到了一种新姿势解决这类问题

计算几何之判断点是否在多边形内，

判断点是否在多边形内有多种方法：射线法，角度和判断法，改进弧长法还有这次用到的二分法。

前三者的时间复杂度均为O(n)，此方法复杂度仅为O（logn）。

而且对于判断很多点是否在多边形内，就可以用这种方法了，耗时少。

原理：

将一个多边形，以其中一个点为原点，开始与其他各点相连并延长做射线，则会形成许多个三角形区域。（如左图）

这样我们可以先判断点在哪两条向量之间。用二分查找，可以很快搜索到。

当然，首先要判断点是否在最左边向量左侧或者最右边向量右侧，如是，则点不在多边形内。

以右图为例，我们找到紫色点在左数第一个三角形区域内，绿色点在左数第二个三角形区域内。

然后，再判断下图所示线段与 所判断点的位置关系。

绿色的线段可以判断绿色的点，左边紫色的点也由相应的线段来判断位置关系。

这样可以判断点是否在多边形内啦。

总结一下：

①建立一个个三角形区域，用其中两条边判断点所在大体区域。

②用第三条边来判断点是否在多边形内。

二分查找就是用在了第一条的地方，用来查找大体区域位置。

明白了这个，就可以做相应的题目来练习一下了！

就是这道题~。~

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;typedef long long LL;
const int Maxn = 100005;
struct Point
{LL x;LL y;
}a[Maxn],b[Maxn];
LL n,m;LL cross(Point p0,Point p1,Point p2)
{return (p1.x - p0.x) * (p2.y - p0.y) - (p2.x - p0.x) * (p1.y - p0.y);
}int main()
{while(~scanf("%lld",&n)){for(int i=0;i<n;i++){scanf("%lld%lld",&a[i].x,&a[i].y);}scanf("%lld",&m);for(int i=0;i<m;i++){scanf("%lld%lld",&b[i].x,&b[i].y);}int flag = 0;for(int i=0;i<m;i++){if(cross(a[0],a[1],b[i]) >= 0 || cross(a[0],a[n-1],b[i]) <= 0){flag = 1;break;}int left = 1;int right = n - 1;while(left < right){int mid = (right + left) >> 1;if(cross(a[0],a[mid],b[i]) > 0)right = mid;elseleft = mid + 1;}if(cross(a[left],a[left-1],b[i]) <= 0){flag = 1;break;}}if(flag)printf("NO\n");elseprintf("YES\n");}return 0;
}