Green 公式
设 Ω ? R 2 \Omega \subset \R^2 Ω?R2 是由有限条分段光滑的曲线围成的闭区域。如果函数 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y) 和 Q ( x , y ) Q(x,y) Q(x,y) 在 Ω \Omega Ω 上连续，并且由连续的偏导数 ? Q ? x \frac{\partial Q}{\partial x} ?x?Q? 和 ? P ? y \frac{\partial P}{\partial y} ?y?P?，那没有：
∫ ? Ω P ? d x + Q ? d y = ? Ω ( ? Q ? x ? ? P ? y ) ? d x ? d y \int_{\partial \Omega} P \mathop{}\!\mathrm{d}{x} + Q \mathop{}\!\mathrm{d}{y} = \iint_{\Omega} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial{P}}{\partial y})\mathop{}\!\mathrm{d}{x}\mathop{}\!\mathrm{d}{y} ∫?Ω?Pdx+Qdy=?Ω?(?x?Q???y?P?)dxdy
其中 ? Ω \partial \Omega ?Ω 是区域 Ω \Omega Ω 的边界。它的定向是这样确定的：一个人沿着 ? Ω \partial \Omega ?Ω 的正方向行进时，区域 Ω \Omega Ω 总在这个人的左边。
? Ω \partial \Omega ?Ω 是有方向的。
使用二重积分形式的 Green 公式时需要标注 ? Ω \partial \Omega ?Ω 的方向。而是用外微分形式时，则无需这么做：
∫ ? Ω P ? d x + Q ? d y = ? Ω ? d P ∧ ? d x + ? d Q ∧ ? d y = ? Ω ( ? Q ? x ? ? P ? y ) ? d x ∧ ? d y \int_{\partial \Omega} P \mathop{}\!\mathrm{d}{x} + Q \mathop{}\!\mathrm{d}{y} = \iint_{\Omega} \mathop{}\!\mathrm{d}{P}\wedge \mathop{}\!\mathrm{d}{x} + \mathop{}\!\mathrm{d}{Q} \wedge \mathop{}\!\mathrm{d}{y} = \iint_{\Omega} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial{P}}{\partial y})\mathop{}\!\mathrm{d}{x}\wedge\mathop{}\!\mathrm{d}{y} ∫?Ω?Pdx+Qdy=?Ω?dP∧dx+dQ∧dy=?Ω?(?x?Q???y?P?)dx∧dy
因为 ? Ω \partial \Omega ?Ω 的方向已经包含在了 ? d x ∧ ? d y \mathop{}\!\mathrm{d}{x} \wedge \mathop{}\!\mathrm{d}{y} dx∧dy 中了。