机器学习|参数的假设检验（显著性检验）-- 例题引入、解题方法、基本思想|20mins 入门|概统学习笔记（三十）

引入：在这讨论不同于参数估计的另一类重要的统计推断问题。这就是根据样本的信息检验关于总体的某个假设是否正确。这类问题称作假设检验问题(显著性检验)。

假设检验分为：

1. 参数假设检验：总体分布已知，检验关于未知参数的某个假设
2. 非参数假设检验：总体分布未知时的假设检验问题

参数的假设检验

• 引入：罐装可乐的容量标准应在350毫升和360毫升之间。生产流水线上罐装可乐不断地封装，然后装箱外运。怎么知道这批罐装可乐的容量是否合格呢？

  把每一灌都打开倒入量杯，看容量是否合于标准？（这样做显然不行）

  通常的办法是进行抽样检查。

  每隔一定时间，抽查若干罐。如每隔一小时，抽查5罐，得5个容量的值$X_1,...,X_5$，根据这些值来判断生产是否正常。

  如发现不正常，就应停产，找出原因，排除故障，然后再生产；如没有问题，就继续按规定时间再抽样，以此监督生产，保证质量。

  很显然，不能由5罐容量的数据，在把握不大的情况下就判断生产不正常，因为停产的损失是很大的。

  当然也不能总认为正常，有了问题不能及时发现，这也要造成损失。

  如何处理这两者的关系，假设检验面对的就是这种矛盾。

  ——————————————————思路过程—————————————————

  在正常生产条件下，由于种种随机因素的影响，每罐可乐的容量应在355毫升上下波动。这些因素中没有哪一个占有特殊重要的地位。因此，根据中心极限定理，假定每罐容量服从正态分布是合理的。

  这样，我们可以认为$X_1,...,X_5$是取自正态分布$N(\mu ,{\sigma }^2)$的样本，当生存比较稳定时；${\sigma }^2$是一个常数。现在要检验的假设是：
  $$H_0:\mu ={\mu }_0({\mu }_0=355)$$
  (在实际工作中，往往把不轻易否定的命题作为原假设)

  它的对立假设是：
  $$H_1:\mu ?={\mu }_0$$
  称$H_0$为原假设（或零假设，解消假设）；

  称$H_1$为备选假设（或对立假设）。

  问题1：那么如何判断原假设$H_0$是否成立呢？

  由于$\mu$是正态分布的期望值，它的估计量是样本均值$\overline{X}$，因此可以根据$\overline{X}$与${\mu }_0$的差距$|\overline{X}?{\mu }_0|$来判断$H_0$是否成立。

  当$|\overline{X}?{\mu }_0|$较小时，可以认为$H_0$是成立的；

  当$|\overline{X}?{\mu }_0|$较大时，应认为$H_0$不成立，即生产已不正常。

  问题2：但是，较大、较小是一个相对的概念，合理的界限在何处？应由什么原则来确定？

  问题归结为对差异作定量的分析，以确定其性质。

  差异可能是由抽样的随机性引起的，称为抽样误差或随机误差。这种误差反映偶然、非本质的因素所引起的随机波动。

  然而，这种随机性的波动是有一定限度的，如果差异超过了这个限度，则我们就不能用抽样的随机性来解释了。必须认为这个差异反映了事物的本质差别，即反映了生产已不正常。这种差异称作系统误差。

  问题3：根据所观察到差异，如何判断它究竟是由于偶然性在起作用（抽样误差），还是生产确实不正常（系统误差）呢？如何给出一个量的界限呢？

  这里用到在实践中普遍采用的一个原则：小概率事件在一次试验中基本上不会发生。

  例如：有两个盒子，A盒里装有999个红球和1个白球，B盒里装有999个白球和1个红球

  ? 现从两盒中随机取出一个盒子，问这个盒子是A盒还是B盒呢？

  ? 不妨先假设：这个盒子是B盒。

  ? 现在从这个盒子中随机摸出一个球，发现是红球。

  ? 此时该如何判断这个假设是否成立呢？

  ? 如果假设该盒是B盒，摸出红球的概率只有$\frac{1}{1000}$，这是小概率事件。

  ? 小概率事件在一次试验中竟然发生了，不能不使人怀疑所作的假设是否正确。

  这个例子中所使用的推理方法，可以称为带概率性质的反证法，简称概率反证法。

  它不同于一般的反证法，一般的反证法要求在原假设成立的条件下导出的结论时绝对成立的，如果事实与之矛盾，则完全绝对地否定原假设。

  概率反证法的逻辑是：如果小概率事件在一次试验中居然发生，我们就以很大的把握否定原假设

  在假设试验中，我们称这个小概率为显著性水平，用$\alpha$表示。

  $\alpha$的选择要根据实际情况而定。常取$\alpha =0.1,\alpha =0.01,\alpha =0.05$

  现在再次回到前面罐装可乐的例子中：罐装可乐的容量按标准应在350毫升和360毫升之间。一批可乐出厂前应进行抽样检查，现抽查了n罐，测得容量为$X_1,X_2,...,X_n$，问这一批可乐的容量是否合格？

  问题4：在提出原假设$H_0$后，如何作出接受和拒绝$H_0$的结论呢？

  原假设为$H_0:\mu =355$

  对立假设为$H_1:\mu ?=355$

  由于${\sigma }_1$已知，选检验统计量$U=\frac{\overline{X}?{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}?N(0,1)$

  它能衡量差异$|\overline{X}?{\mu }_0|$大小且分布已知。

  对给定的显著性水平$\alpha$，可以在$N(0,1)$表中查到分位点的值$u_{a/2}$，使得
  P { ∣ U ∣ > u a / 2 } = α P\{|U|>u_{a/2}\}=\alpha P{ ∣U∣>ua/2?}=α
  也就是说，$|U|>u_{\alpha /2}$是一个小概率事件。

  故我们可以取的拒绝域为：
  $$W:|U|>u_{\alpha /2}$$

  
  如果由样本值算得该统计量的实测值落入区域W，则拒绝$H_0$；否则，不能拒绝$H_0$.

• 基本思想：如果$H_0$是对的，那么衡量差异大小的某个统计量落入区域W（拒绝域）是个小概率事件。如果该统计量的实测值落入W，也就是说，$H_0$成立下的小概率事件发生了，那么就认为$H_0$不可信而否定它。否则我们就不能否定$H_0$，而只好接受它。

  不否定$H_0$并不是肯定$H_0$一定对，而只是说差异还不够显著，还没有达到足以否定$H_0$的程度。所以假设检验又叫”显著性检验“。

  如果显著性水平$\alpha$取得很小，则拒绝域也会比较小。

  其产生的后果是：$H_0$难于被拒绝。

  如果在$\alpha$很小的情况下$H_0$仍被拒绝了，则说明实际情况很可能与之有显著差异。

  基于这个理由，人们常把$\alpha =0.05$时拒绝$H_0$称为是显著的，而把在$\alpha =0.01$时拒绝$H_0$称为是高度显著的。