能否将分离变量法应用于其他有限区间上的混合问题或边值问题，关键是固有值问题。
一般格式
将分离变量法用于更一般的定解问题
{ L t u + L x u = 0 , t ∈ I , a < x < b （ 1 ） ( a 1 u ? β 1 ? u ? x ) ∣ x = a = 0 , ( a 2 u + β 2 ? u ? x ) ∣ x = b = 0 ( 2 ) 关 于 t 的 定 解 条 件 ( 3 ) \begin{cases} L_tu+L_xu=0,\quad t\in I,a<x<b \quad \quad（1）\\ (a_1u-\beta_1\frac{\partial u}{\partial x})|_{x=a}=0,\quad (a_2u+\beta_2\frac{\partial u}{\partial x})|_{x=b}=0 \quad (2)\\ 关于t的定解条件 \quad(3) \end{cases} ??????Lt?u+Lx?u=0,t∈I,a<x<b（1）(a1?u?β1??x?u?)∣x=a?=0,(a2?u+β2??x?u?)∣x=b?=0(2)关于t的定解条件(3)?
方程（1）中的 L t , L x L_t,L_x Lt?,Lx?分别是关于t和x的线性偏微分算子，比如
L t = a 0 ( t ) ? 2 ? t 2 + a 1 ( t ) ? ? t + a 2 ( t ) L x = b 0 ( x ) ? 2 ? x 2 + b 1 ( x ) ? ? x + b 2 ( x ) L_t=a_0(t)\frac{\partial^2}{\partial t^2}+a_1(t)\frac{\partial}{\partial t}+a_2(t) \\ L_x=b_0(x)\frac{\partial^2}{\partial x^2}+b_1(x)\frac{\partial}{\partial x}+b_2(x) Lt?=a0?(t)?t2?2?+a1?(t)?t??+a2?(t)Lx?=b0?(x)?x2?2?+b1?(x)?x??+b2?(x)
其中， a j ( t ) ( j = 0 , 1 , 2 ) a_j(t)(j=0,1,2) aj?(t)(j=0,1,2)是有限或半无限区间I上的连续函数； b j ( x ) ( j = 0 , 1 , 2 ) b_j(x)(j=0,1,2) bj?(x)(j=0,1,2)是 a < x < b a<x<b a<x<b上的连续函数。边界条件（2）式中常数 α j , β j \alpha_j,\beta_j αj?,βj?非负，且 α j 2 + β j 2 ≠ 0 ( j = 1 , 2 ) \alpha_j^2+\beta_j^2\neq 0(j=1,2) αj2?+βj2???=0(j=1,2)。（3）式中的关于t的定解条件可以是初始条件，也可以是边界条件。
第一步：分离变量
设 u ( t , x ) = T ( t ) X ( t ) u(t,x)=T(t)X(t) u(t,x)=T(t)X(t)，代入齐次方程（1）和齐次边界条件（2）式，分离得固有值问题
{ L x X ( x ) + λ X ( x ) = 0 , a < x < b ( 4 ) α 1 X ( a ) ? β 1 X ′ ( a ) = 0 , a 2 X ( b ) + β 2 X ′ ( b ) = 0 ( 5 ) \begin{cases} L_xX(x)+\lambda X(x) = 0,\quad a<x<b \quad(4)\\ \alpha_1X(a)-\beta_1X'(a)=0, \quad a_2X(b)+\beta_2X'(b)=0 \quad (5) \end{cases} {
Lx?X(x)+λX(x)=0,a<x<b(4)α1?X(a)?β1?X′(a)=0,a2?X(b)+β2?X′(b)=0(5)?
和常微分方程
L t T ( t ) ? λ T ( t ) = 0 ( 6 ) L_tT(t)-\lambda T(t)=0 \quad(6) Lt?T(t)?λT(t)=0(6)
可见（1）形式的方程，即使 L t , L x L_t,L_x Lt?,Lx?为更高阶的微分算子，总可以分离变量得常微分方程（4）和（6）式，而第 I 、 I I 、 I I I I、II、III I、II、III类齐次边界条件（2）式也总可分离出常微分方程的边界条件（5）式。称这类问题（1）式为可分离变量的问题。
第二步：解固有值问题，得变量分离形状特解
就 λ \lambda λ的不同情况，求方程（4）的通解，并由边界条件（5）式求出固有值 { λ n } \{\lambda_n\} { λn?}及相应的固有函数 { X n ( x ) } , n = 1 , 2 , ? ? ? \{X_n(x)\},n=1,2,··· { Xn?(x)},n=1,2,???。再将固有值 λ n \lambda_n λn?代入方程（6），求出相应的通解 T n ( t ) T_n(t) Tn?(t)，从而得到一族变量分离形状的解 { u n ( t , x ) = T n ( t ) X n ( x ) } \{u_n(t,x)=T_n(t)X_n(x)\} { un?(t,x)=Tn?(t)Xn?(x)}。
第三步：叠加定系数
令
u ( t , x ) = ∑ n = 1 + ∞ C n T n ( t ) X n ( x ) u(t,x)=\sum_{n=1}^{+\infty}C_nT_n(t)X_n(x) u(t,x)=n=1∑+∞?Cn?Tn?(t)Xn?(x)
代入关于t的初始条件或边界条件，定出系数 C n C_n Cn?，从而得到定解问题（1）式的形式解。
以上三个步骤中，分离变量是基础，固有值问题是核心。在分离变量法的两个典型例子中，固有函数不仅构成了满足齐次方程、齐次边界条件的变量分离形状的解族，更重要的是固有函数的全体正好成为函数 的Fourier正弦展开或Fourier展开的完备正交函数系（正交基），从而可通过这些变量分离形状的解作适当的叠加而得到同时满足初始条件或其他边界条件的定解问题的解。
现在的问题是，对于一般的固有值问题（4）式，第一，是否存在一串固有值和相应的固有函数？第二，这一串固有函数是否成为函数空间里的完备正交函数系（正交基）？