一般的非齐次混合问题

现在考虑一般的非齐次混合问题
$\begin{cases} L_tu+L_xu=f(t,x), \quad t>0,a<x<b \\ (\alpha_1u-\beta_1\frac{\partial u}{\partial x})|_{x=a}=g_1(t),\quad (a_2u+\beta_2\frac{\partial u}{\partial x})|_{x=b}=g_2(t) \\ u|_{t=0}=\varphi(x), \quad \frac{\partial u}{\partial t}|_{t=0}=\psi(x) \end{cases}$
边界条件出现非齐次项 $g_1(t),g_2(t)$ ，不能再用分离变量法（Fourier展开法）或冲量原理法求解，但是可以通过寻找满足非齐次边界条件的特解把边界条件齐次化。

设 $v (t, x)$ 满足非齐次边界条件
$(a_1v-\beta_1\frac{\partial v}{\partial x})|_{x=a}=g_1(t),\quad (a_2v+\beta_2\frac{\partial v}{\partial x})|_{x=b}=g_2(t)$
这里的 $v (t, x)$ 显然不唯一，最简单地，可取为x的线性函数
$v (t, x) = A (t) x + B (t)$
其中， $A (t), B (t)$ 待定，将此 $v (t, x)$ 代入边界条件，整理得 $A (t), B (t)$ 的线性方程组
$\begin{cases} (\alpha_1a-\beta_1)A(t)+\alpha_1B(t)=g_1(t) \\ (\alpha_2b+\beta_2)A(t)+\alpha_2B(t)=g_2(t) \end{cases}$
解出 $A (t), B (t)$ 便可得满足非齐次边界的 $v (t, x)$ 。若上述线性方程组无解，则可设 $v (t, x)$ 为x的二次函数。

找到这样的 $v (t, x)$ ，令 $u (t, x) = v (t, x) + w (t, x)$ ，由叠加原理知， $w (t, x)$ 满足非齐次方程齐次边界条件的定解问题
$\begin{cases} L_tw+L_xw=f(t,x)-L_tv-L_xv, \quad t>0,a<x<b \\ (\alpha_1w-\beta_1\frac{\partial w}{\partial x})|_{x=a}=0,\quad (a_2w+\beta_2\frac{\partial w}{\partial x})|_{x=b}=0 \\ w|_{t=0}=\varphi(x)-v|_{t=0}, \quad \frac{\partial w}{\partial t}|_{t=0}=\psi(x)-\frac{\partial v}{\partial t}|_{t=0} \end{cases}$
这在齐次边界条件下非齐次发展方程的混合问题已解决。